Задача №14048

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $5\text{,}$ и на $9$ даёт в остатке $1\text{,}$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. Пусть искомое число — $N\text{.}$ По условию задачи при делении на $5$ и на $9$ оно даёт в остатке $1\text{.}$ Это означает, что число $N-1$ делится нацело и на $5\text{,}$ и на $9\text{.}$

2. Так как числа $5$ и $9$ являются взаимно простыми, их наименьшее общее кратное равно $5\cdot 9=45\text{.}$ Следовательно, число $N-1$ должно быть кратно $45\text{.}$ Искомое число можно представить в виде:

где $k$ — некоторое натуральное число.

3. Поскольку число $N$ трёхзначное, переберём значения $k\text{,}$ начиная с таких, при которых $N⩾100$ (то есть $k⩾3$), и проверим выполнение условия убывания цифр:

1) Если $k=12\text{,}$ то $N=45\cdot 12+1=540+1=541\text{.}$ Цифры числа — $5\text{,}$ $4$ и $1\text{.}$ Они расположены в порядке убывания: $5>4>1\text{.}$ Условие выполняется.

2) Если $k=14\text{,}$ то $N=45\cdot 14+1=630+1=631\text{.}$ Цифры $6\text{,}$ $3\text{,}$ $1$ также расположены в порядке убывания: $6>3>1\text{.}$ Условие выполняется.

3) Если $k=16\text{,}$ то $N=45\cdot 16+1=720+1=721\text{.}$ Цифры $7\text{,}$ $2\text{,}$ $1$ расположены в порядке убывания: $7>2>1\text{.}$ Условие выполняется.

4. По условию достаточно указать любое одно такое число.

Ответ: 541