Задача №14043

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию произведение его цифр равно 40:

2. Разложим число 40 на четыре однозначных множителя (цифры от 1 до 9). Возможны следующие наборы цифр:

• $\{5;8;1;1\}$ (сумма цифр: $5+8+1+1=15$);
• $\{5;4;2;1\}$ (сумма цифр: $5+4+2+1=12$);
• $\{5;2;2;2\}$ (сумма цифр: $5+2+2+2=11$).

3. Число должно быть кратно 12. Это означает, что оно должно одновременно делиться на 3 и на 4.

• Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Суммы 15 и 12 делятся на 3, а сумма 11 — нет. Следовательно, набор $\{5;2;2;2\}$ не подходит.
• Признак делимости на 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4.

4. Проверим набор цифр $\{5;8;1;1\}\text{.}$ Возможные двузначные числа в конце: 11, 15, 51, 18, 81, 58, 85. Ни одно из них не кратно 4. Следовательно, этот набор не подходит.

5. Проверим набор цифр $\{5;4;2;1\}\text{.}$ Возможные двузначные числа, которые делятся на 4: 12, 24, 52.

• Если число заканчивается на 24, то из оставшихся цифр 1 и 5 можно составить числа 1524 или 5124.
• Если число заканчивается на 12, можно составить 4512 или 5412.
• Если число заканчивается на 52, можно составить 1452 или 4152.

6. Любое из этих чисел будет являться верным ответом. Выберем, например, 1524.

Проверка:
1) Произведение цифр: $1\cdot 5\cdot 2\cdot 4=40\text{.}$
2) Делимость на 12: $1524=12\cdot 127$ (кратно).

Ответ: 1524.