Задача №14042

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше $5\text{,}$ но меньше $9\text{.}$ Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось $164\text{.}$ Какое число было загадано?

Пусть загаданное натуральное число равно $x\text{.}$ По условию задачи числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ — натуральные и удовлетворяют условию $5<A,B,C<9\text{.}$ Следовательно, каждое из них может быть равно $6\text{,}$ $7$ или $8\text{.}$

Запишем преобразования над числом $x$ в виде уравнения:

Выразим произведение $x\cdot A\text{:}$

Оценим возможные значения разности $B-C\text{.}$ Так как $B;C\in \{6;7;8\}\text{,}$ то минимальное значение разности равно $6-8=-2\text{,}$ а максимальное — $8-6=2\text{.}$ Значит, значение выражения $164-(B-C)$ должно находиться в пределах от $164-2=162$ до $164-(-2)=166\text{.}$

Так как $x$ — натуральное число, значение $164-(B-C)$ должно нацело делиться на $A$ (где $A\in \{6;7;8\}$). Проверим варианты:

1. Если $A=6\text{:}$

• $162:6=27$ (целое);
• $163:6=27,16\dots \text{;}$
• $164:6=27,33\dots \text{;}$
• $165:6=27,5\text{;}$
• $166:6=27,66\dots \text{.}$

Получаем решение $x=27\text{.}$ При этом $164-(B-C)=162\text{,}$ что означает $B-C=2\text{.}$ Это условие выполняется, например, при $B=8$ и $C=6\text{.}$

2. Если $A=7\text{:}$

• $162:7=23,14\dots \text{;}$
• $163:7=23,28\dots \text{;}$
• $164:7=23,42\dots \text{;}$
• $165:7=23,57\dots \text{;}$
• $166:7=23,71\dots \text{.}$

Целых решений нет.

3. Если $A=8\text{:}$

• $162:8=20,25\text{;}$
• $163:8=20,375\text{;}$
• $164:8=20,5\text{;}$
• $165:8=20,625\text{;}$
• $166:8=20,75\text{.}$

Целых решений нет.

Таким образом, единственным возможным натуральным числом является $27\text{.}$

Ответ: 27