Задача №14041

Найдите четырёхзначное число, которое в $7$ раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $x$ — искомое четырёхзначное число, а $n$ — некоторое натуральное число. Согласно условию задачи:

Так как $x$ является целым числом, то куб числа $n$ должен делиться на $7\text{.}$ Поскольку $7$ — простое число, это означает, что само число $n$ должно быть кратно $7\text{.}$ Представим $n$ в виде $n=7k\text{,}$ где $k$ — натуральное число.

Подставим это выражение в формулу для $x\text{:}$

Нам необходимо найти такое значение $k\text{,}$ чтобы число $x$ было четырёхзначным, то есть удовлетворяло неравенству $1000⩽49k^3⩽9999\text{.}$ Проверим последовательные значения $k\text{:}$

1. При $k=1\text{:}$ $x=49\cdot 1^3=49$ (двузначное число).
2. При $k=2\text{:}$ $x=49\cdot 2^3=49\cdot 8=392$ (трёхзначное число).
3. При $k=3\text{:}$ $x=49\cdot 3^3=49\cdot 27=1323\text{.}$ Это число четырёхзначное, оно подходит под условие.
4. При $k=4\text{:}$ $x=49\cdot 4^3=49\cdot 64=3136\text{.}$ Это число также подходит.
5. При $k=5\text{:}$ $x=49\cdot 5^3=49\cdot 125=6125\text{.}$ Это число также подходит.
6. При $k=6\text{:}$ $x=49\cdot 6^3=49\cdot 216=10584$ (пятизначное число).

В качестве ответа можно указать любое из подходящих чисел: $1323\text{,}$ $3136$ или $6125\text{.}$

Ответ: 1323