Задача №14040

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $1640\text{,}$ но меньшее $1930\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Нам необходимо найти четырёхзначное число $n\text{,}$ такое что $1640<n<1930\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны.

1. Заметим, что в числе не может быть нулей, так как число должно делиться на каждую свою цифру, а деление на ноль не определено.

2. Рассмотрим числа, начинающиеся на $17\text{.}$ Пусть число имеет вид $17xy\text{.}$ Оно должно состоять из различных ненулевых цифр и делиться на $1\text{,}$ $7\text{,}$ $x$ и $y\text{.}$

3. Проверим число $1764\text{:}$

• Все цифры ($1\text{,}$ $7\text{,}$ $6\text{,}$ $4$) различны и отличны от нуля.
• Число $1764$ делится на $1\text{.}$
• Проверим делимость на $7\text{:}$ $1764=7\cdot 252$ — делится.
• Проверим делимость на $6\text{:}$ число чётное и сумма его цифр $1+7+6+4=18$ делится на $3\text{,}$ следовательно, число делится на $6\text{.}$
• Проверим делимость на $4\text{:}$ последние две цифры ($64$) делятся на $4\text{,}$ следовательно, всё число делится на $4\text{.}$

4. Число $1764$ удовлетворяет условию $1640<1764<1930\text{.}$

В качестве ответа можно также указать числа $1692\text{,}$ $1736\text{,}$ $1824$ или $1926\text{.}$

Ответ: $1764$