Задача №14035

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 55, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Условие: найти четырёхзначное число, кратное 55, все цифры различны и нечётны.

Критерии:

1. Кратность 55: число делится на 5 и на 11.
2. Последняя цифра 5 (так как цифры нечётны и 0 — чётно

е).
3. Цифры нечётные и различны: доступны $\{1;3;7;9\}$ и 5 (последняя).
4. Делимость на 11: разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях делится на 11.

Решение:

Пусть число $abcd$ с $d=5\text{.}$ Условие на 11: $(a+c)-(b+5)$ кратно 11. Так как $-10⩽(a+c)-(b+5)⩽10\text{,}$ то $(a+c)-(b+5)=0\text{,}$ то есть $a+c=b+5\text{.}$

Перебираем $b\in \{1;3;7;9\}\text{.}$

• $b=3\text{:}$ $a+c=8\text{,}$ подходит пара $(1,7)$ (цифры различны). Получаем числа 1375 и 7315. Берём 1375.

Проверка: 1375: цифры 1, 3, 7, 5 — все нечётны и различны. $1375/55=25\text{.}$

Ответ: 1375