Задача №14033

Найдите четырёхзначное число, которое в $7$ раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $x\text{.}$ По условию оно в $7$ раз меньше куба некоторого натурального числа $n\text{,}$ то есть:

Так как $x$ — целое число, то $n^3$ должно делиться на $7\text{.}$ Поскольку $7$ — простое число, это возможно только в том случае, если само число $n$ делится на $7\text{.}$

Представим $n$ в виде $n=7k\text{,}$ где $k$ — натуральное число. Подставим это выражение в формулу для $x\text{:}$

По условию $x$ является четырёхзначным числом, следовательно, выполняется неравенство:

Разделим все части неравенства на $49\text{:}$

Найдём натуральные значения $k\text{,}$ кубы которых попадают в этот промежуток:

1. При $k=3\text{:}$ $k^3=27\text{.}$ Число подходит, так как $20,4<27<204\text{.}$
Вычислим $x\text{:}$ $x=49\cdot 27=1323\text{.}$

2. При $k=4\text{:}$ $k^3=64\text{.}$ Число подходит, так как $20,4<64<204\text{.}$
Вычислим $x\text{:}$ $x=49\cdot 64=3136\text{.}$

3. При $k=5\text{:}$ $k^3=125\text{.}$ Число подходит, так как $20,4<125<204\text{.}$
Вычислим $x\text{:}$ $x=49\cdot 125=6125\text{.}$

При $k=6$ получаем $k^3=216\text{,}$ что больше $204\text{,}$ следовательно, число уже не будет четырёхзначным.

В ответе необходимо указать любое одно такое число. Выберем $1323\text{.}$

Ответ: 1323