Задача №14031

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $3537\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число, кратное 5, имеет цифры $a,b,c,d\text{,}$ где $a\ne 0\text{,}$ а $d$ — последняя цифра. Так как число кратно 5, то $d=0$ или $d=5\text{.}$ Если $d=0\text{,}$ то при записи цифр в обратном порядке получится число, начинающееся с 0, которое не является четырёхзначным. Следовательно, $d=5\text{.}$

Исходное число: $N=1000a+100b+10c+5\text{.}$
Число с обратным порядком цифр: $M=5000+100c+10b+a\text{.}$

По условию $N-M=3537\text{.}$ Подставим выражения:

Упростим уравнение:

Разделим обе части на 9:

Левая часть кратна 10, следовательно, правая часть также должна быть кратна 10. Переберём значения $a$ от 1 до 9:

1. При $a=8\text{:}$ $948-111\cdot 8=948-888=60\text{,}$ что кратно 10.
2. Остальные значения $a$ не дают результата, кратного 10.

Таким образом, $a=8$ и $10(b-c)=60\text{,}$ откуда $b-c=6\text{.}$

Цифры $b$ и $c$ могут принимать значения от 0 до 9. Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(6;0),(7;1),(8;2),(9;3)\text{.}$

Исходные числа: $8605,8715,8825,8935\text{.}$ Проверим для $8605\text{:}$ обратное число — $5068\text{,}$ разность $8605-5068=3537\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 8605