Задача №14028

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее всеми следующими свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 6;
• сумма цифр числа $A+3$ делится на 6;
• число $A$ больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть число $A$ имеет цифры: сотни — 3 (так как $350<A<400$), десятки — $b$ и единицы — $c\text{.}$ Тогда $A=300+10b+c\text{,}$ где $b$ — цифра от 5 до 9, $c$ — цифра от 0 до 9. При этом если $b=5\text{,}$ то $c⩾1$ (так как $A>350$); если $b⩾6\text{,}$ то $c$ может быть любой цифрой от 0 до 9.

Сумма цифр числа $A$ составляет $S(A)=3+b+c\text{.}$ По условию $S(A)$ делится на 6. Так как $3+b+c$ для допустимых значений $b$ и $c$ находится в пределах от 9 до 21, возможные значения суммы: 12 или 18. Как будет показано далее, для выполнения условий необходимо $c⩾7\text{,}$ тогда при $b⩾5$ имеем $3+b+c⩾15\text{,}$ откуда следует:

$$3+b+c=18\Rightarrow b+c=15.$$

Рассмотрим число $A+3$ в зависимости от значения $c\text{:}$

1. Если $c⩽6\text{,}$ то при прибавлении числа 3 не происходит переноса в разряд десятков. Тогда сумма цифр числа $A+3$ равна $3+b+(c+3)=6+b+c\text{.}$ По условию она должна делиться на 6, то есть $6+b+c\equiv 0(\mathrm{mod}6)\text{,}$ что равносильно $b+c\equiv 0(\mathrm{mod}6)\text{.}$ Однако мы получили, что $b+c=15\text{,}$ а $15\equiv 3(\mathrm{mod}6)\text{.}$ Это противоречие, случай невозможен.

2. Если $c⩾7\text{,}$ то при сложении $A+3$ происходит перенос единицы в разряд десятков.

• Если $b⩽8\text{,}$ то $A+3=300+10(b+1)+(c-7)\text{.}$ Сумма цифр равна $3+(b+1)+(c-7)=b+c-3\text{.}$ Подставляя $b+c=15\text{,}$ получаем $15-3=12\text{.}$ Это число делится на 6, условие выполняется.
• Если $b=9\text{,}$ то $A+3=400+(c-7)\text{,}$ сумма цифр равна $4+0+(c-7)=c-3\text{.}$ Для $c\in \{7;8;9\}$ суммы равны соответственно 4, 5 и 6. Только $c=9$ даёт сумму 6. Но если $b=9$ и $c=9\text{,}$ то $A=399\text{,}$ а его сумма цифр $S(399)=21$ не делится на 6. Подслучай не подходит.

Таким образом, подходят числа, где $b⩽8\text{,}$ $c⩾7$ и $b+c=15\text{.}$ Возможные варианты:

• $b=6,c=9\Rightarrow A=369\text{;}$
• $b=7,c=8\Rightarrow A=378\text{;}$
• $b=8,c=7\Rightarrow A=387\text{.}$

Ответ: 369