Задача №14025

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $24\text{,}$ произведение цифр которого равно $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Четырёхзначное число должно удовлетворять условиям: делиться на $24$ и произведение его цифр должно быть равно $16\text{.}$

1. Поскольку $24=8\cdot 3\text{,}$ искомое число должно делиться на $8$ и на $3$ одновременно.

2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$

3. Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на $8\text{.}$

4. Произведение цифр равно $16\text{.}$ Цифры — натуральные числа от $1$ до $9$ (ноль не может входить в запись, так как тогда произведение было бы равно $0$). Разложим $16$ на четыре множителя-цифры. Возможные наборы цифр:

• $\{2;2;2;2\}$ (сумма равна $8$);
• $\{1;2;2;4\}$ (сумма равна $9$);
• $\{1;1;4;4\}$ (сумма равна $10$);
• $\{1;1;2;8\}$ (сумма равна $12$).

5. Проверим выполнение признака делимости на $3\text{:}$

• Для набора $\{2;2;2;2\}\text{:}$ сумма $8$ не делится на $3$ — не подходит.
• Для набора $\{1;2;2;4\}\text{:}$ сумма $9$ делится на $3$ — подходит.
• Для набора $\{1;1;4;4\}\text{:}$ сумма $10$ не делится на $3$ — не подходит.
• Для набора $\{1;1;2;8\}\text{:}$ сумма $12$ делится на $3$ — подходит.

6. Для подходящих наборов подберём расположение цифр так, чтобы выполнялся признак делимости на $8\text{.}$

Рассмотрим набор $\{1;2;2;4\}\text{.}$ Попробуем составить число так, чтобы последние три цифры образовали число, кратное $8\text{.}$ Например, $224\text{:}$

Следовательно, число $1224$ подходит. Проверим его: оно кратно $3$ (сумма цифр $9$) и последние три цифры образуют $224\text{,}$ кратное $8\text{.}$ Произведение цифр:

Рассмотрим набор $\{1;1;2;8\}\text{.}$ Попробуем составить число так, чтобы последние три цифры образовали число, кратное $8\text{.}$ Например, $128\text{:}$

Следовательно, число $1128$ также является решением. Также подходят числа $8112$ (так как $112:8=14$) и $1816$ не получится, так как цифры только из набора.

7. Таким образом, в качестве ответа можно указать любое из найденных чисел, например, $1224\text{.}$

Ответ: $1224$