Задача №14021

Найдите четырёхзначное число, большее $3500\text{,}$ но меньшее $5500\text{,}$ которое делится на $40$ и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет цифры $a,b,c,d$ (тысячи, сотни, десятки, единицы), так что число равно $1000a+100b+10c+d\text{.}$

Условия задачи:
1. $3500<1000a+100b+10c+d<5500\text{;}$
2. число делится на $40\text{;}$
3. цифры убывают: $a>b>c>d\text{.}$

Поскольку число делится на $40\text{,}$ а $40=8\cdot 5$ и числа $8$ и $5$ взаимно просты, оно должно делиться на $8$ и на $5\text{.}$

Из делимости на $5$ следует, что последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

Рассмотрим случай $d=5\text{.}$ Тогда из условия убывания цифр $a>b>c>5$ имеем $c⩾6\text{,}$ $b⩾7\text{,}$ $a⩾8\text{.}$ Минимальное такое число: $a=8\text{,}$ $b=7\text{,}$ $c=6\text{,}$ $d=5\text{,}$ то есть $8765\text{.}$ Однако оно больше $5500\text{.}$ Любое число с $d=5$ будет не меньше $8765\text{,}$ поэтому оно не попадает в заданный интервал. Следовательно, $d\ne 5\text{.}$

Значит, $d=0\text{.}$ Теперь условие убывания цифр выглядит как $a>b>c>0\text{.}$

Рассмотрим условие делимости на $8\text{.}$ Поскольку $1000a$ всегда делится на $8\text{,}$ необходимо и достаточно, чтобы число $100b+10c+d$ делилось на $8\text{.}$ При $d=0$ это равносильно тому, что $10(10b+c)$ кратно $8\text{.}$ Так как $\text{НОД}(10;8)=2\text{,}$ условие сводится к тому, что число $10b+c$ должно делиться на $4\text{.}$

Учтём диапазон значений. Число больше $3500\text{,}$ поэтому первая цифра $a$ не может быть $3\text{:}$ при $a=3$ максимальное число с убывающими цифрами будет $3210\text{,}$ что меньше $3500\text{.}$ Следовательно, $a$ может принимать значения $4$ или $5\text{.}$

Рассмотрим случай $a=4\text{.}$ Тогда $b<4\text{.}$ Из условия $b>c>0$ цифра $b$ может быть равна $2$ или $3\text{.}$

1. Если $b=3\text{,}$ то $c$ может быть равно $1$ или $2\text{.}$ Проверим условие кратности $10b+c$ на $4\text{:}$

• при $c=1\text{:}$ $31$ не делится на $4\text{;}$
• при $c=2\text{:}$ $32$ делится на $4\text{.}$ Получаем число $4320\text{.}$

2. Если $b=2\text{,}$ то $c=1\text{.}$ Условие: $21$ не делится на $4\text{.}$

Рассмотрим случай $a=5\text{.}$ Так как число меньше $5500\text{,}$ то $b<5\text{.}$ Возможные значения $b$ — $2,3,4\text{.}$

1. Если $b=4\text{,}$ то $c\in \{1;2;3\}\text{.}$ Условие: $40+c$ должно быть кратно $4\text{.}$ Подходящих $c$ нет.
2. Если $b=3\text{,}$ то $c\in \{1;2\}\text{.}$ Условие: $30+c$ кратно $4\text{.}$ При $c=2$ получаем число $5320\text{.}$
3. Если $b=2\text{,}$ то $c=1\text{.}$ Условие: $21$ не делится на $4\text{.}$

Таким образом, найдены числа $4320$ и $5320\text{,}$ удовлетворяющие всем условиям.

Ответ: 4320