Найдите четырёхзначное число, большее 3500 , но меньшее 5500 , которое делится на 40 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет цифры a, b, c, d (тысячи, сотни, десятки, единицы), так что число равно 1000a + 100b + 10c + d . Условия задачи: 1. 3500 < 1000a + 100b + 10c + d < 5500 ; 2. число делится на 40 ; 3. цифры убывают: a > b > c > d . Поскольку число делится на 40 , а 40 = 8 * 5 и числа 8 и 5 взаимно просты, оно должно делиться на 8 и на 5 . Из делимости на 5 следует, что последняя цифра d равна 0 или 5 . Рассмотрим случай d = 5 . Тогда из условия убывания цифр a > b > c > 5 имеем c 6 , b 7 , a 8 . Минимальное такое число: a = 8 , b = 7 , c = 6 , d = 5 , то есть 8765 . Однако оно больше 5500 . Любое число с d = 5 будет не меньше 8765 , поэтому оно не попадает в заданный интервал. Следовательно, d != 5 . Значит, d = 0 . Теперь условие убывания цифр выглядит как a > b > c > 0 . Рассмотрим условие делимости на 8 . Поскольку 1000a всегда делится на 8 , необходимо и достаточно, чтобы число 100b + 10c + d делилось на 8 . При d = 0 это равносильно тому, что 10(10b + c) кратно 8 . Так как НОД(10; 8) = 2 , условие сводится к тому, что число 10b + c должно делиться на 4 . Учтём диапазон значений. Число больше 3500 , поэтому первая цифра a не может быть 3 : при a = 3 максимальное число с убывающими цифрами будет 3210 , что меньше 3500 . Следовательно, a может принимать значения 4 или 5 . Рассмотрим случай a = 4 . Тогда b < 4 . Из условия b > c > 0 цифра b может быть равна 2 или 3 . 1. Если b = 3 , то c может быть равно 1 или 2 . Проверим условие кратности 10b + c на 4 : - при c = 1 : 31 не делится на 4 ; - при c = 2 : 32 делится на 4 . Получаем число 4320 . 2. Если b = 2 , то c = 1 . Условие: 21 не делится на 4 . Рассмотрим случай a = 5 . Так как число меньше 5500 , то b < 5 . Возможные значения b — 2, 3, 4 . 1. Если b = 4 , то c in 1; 2; 3 . Условие: 40 + c должно быть кратно 4 . Подходящих c нет. 2. Если b = 3 , то c in 1; 2 . Условие: 30 + c кратно 4 . При c = 2 получаем число 5320 . 3. Если b = 2 , то c = 1 . Условие: 21 не делится на 4 . Таким образом, найдены числа 4320 и 5320 , удовлетворяющие всем условиям. Ответ: 4320

4320