Задача №14020

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $120=2^3\cdot 3\cdot 5\text{.}$ Условия делимости:

1. На 5: последняя цифра должна быть 0 (так как используются только цифры 2 и 0).
2. На 8: число, составленное из последних трёх цифр, должно делиться на 8.
3. На 3: сумма цифр должна делиться на 3.

Поскольку число шестизначное и записывается только цифрами 2 и 0, первая цифра не может быть 0, значит, первая цифра — 2. Пусть $k$ — количество двоек в числе. Тогда сумма цифр равна $2k\text{.}$ Чтобы $2k$ делилось на 3, необходимо, чтобы $k$ делилось на 3.

Так как всего 6 цифр, возможные значения $k\in \{0;3;6\}\text{.}$ Случай $k=0$ даёт число 000000, что не является натуральным шестизначным; случай $k=6$ даёт число 222222, но оно не оканчивается на 0. Следовательно, $k=3\text{,}$ то есть в числе ровно три двойки и три нуля.

Последняя цифра — 0. Рассмотрим возможные трёхзначные комбинации из цифр 2 и 0, оканчивающиеся на 0, которые делятся на 8: 000 ($0$) и 200 ($200=8\cdot 25$). Остальные (020, 220, 002, 022, 202) на 8 не делятся.

1. Если последние три цифры — 000, то все три двойки находятся среди первых трёх цифр. Первая цифра уже 2, поэтому первые три цифры должны быть 222. Получаем число 222000.
2. Если последние три цифры — 200, то в них одна двойка (в разряде сотен). Остаётся две двойки: одна в первой цифре, вторая должна быть размещена на позиции 2 или 3. Это даёт два варианта: 220200 и 202200.

Проверка для всех чисел:

• Сумма цифр каждого числа равна 6, что делится на 3.
• Последняя цифра — 0.
• Последние три цифры: для 222000 — 000, для 220200 и 202200 — 200; все делятся на 8.

Таким образом, числа 222000, 220200, 202200 делятся на 120.

Ответ: 222000