Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?

Пусть p — число подъездов, f — число этажей в доме, a — число квартир на этаже. Из условия задачи имеем: 1. Общее число квартир: p * f * a = 114 . 2. f > a (число этажей больше числа квартир на этаже). 3. a > p (число квартир на этаже больше числа подъездов). 4. p > 1 . Все числа p, f, a — натуральные. Разложим общее количество квартир 114 на простые множители: 114 = 2 * 3 * 19 Переберём возможные значения p , учитывая условия p > 1 и a > p : 1. Если p = 2 , то f * a = (114)/(2) = 57 . Найдём пары (a; f) такие, что a * f = 57 , при этом a > 2 и f > a . Делители 57: 1; 3; 19; 57. Единственная подходящая пара: a = 3 , f = 19 (так как 3 > 2 и 19 > 3 ). 2. Если p = 3 , то f * a = (114)/(3) = 38 . Делители 38: 1; 2; 19; 38. Условиям a > 3 и f > a ни одна пара не удовлетворяет (например, при a = 19 получим f = 2 , что противоречит f > a ). 3. Если p = 6 (следующий возможный делитель), то f * a = 19 . Чтобы a > 6 , должно быть a = 19 , тогда f = 1 , что противоречит условию f > a . 4. Для любых p 19 произведение f * a 6 , что делает выполнение условия a > p невозможным. Таким образом, единственное решение: p = 2 , a = 3 , f = 19 . Ответ: 19.

19