Задача №14018

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 114 квартир?

Пусть $p$ — число подъездов, $f$ — число этажей в доме, $a$ — число квартир на этаже. Из условия задачи имеем:

1. Общее число квартир: $p\cdot f\cdot a=114\text{.}$
2. $f>a$ (число этажей больше числа квартир на этаже).
3. $a>p$ (число квартир на этаже больше числа подъездов).
4. $p>1\text{.}$

Все числа $p,f,a$ — натуральные. Разложим общее количество квартир 114 на простые множители:

Переберём возможные значения $p\text{,}$ учитывая условия $p>1$ и $a>p\text{:}$

1. Если $p=2\text{,}$ то $f\cdot a=\frac{114}{2}=57\text{.}$ Найдём пары $(a;f)$ такие, что $a\cdot f=57\text{,}$ при этом $a>2$ и $f>a\text{.}$ Делители 57: {1; 3; 19; 57}. Единственная подходящая пара: $a=3\text{,}$ $f=19$ (так как $3>2$ и $19>3$).
2. Если $p=3\text{,}$ то $f\cdot a=\frac{114}{3}=38\text{.}$ Делители 38: {1; 2; 19; 38}. Условиям $a>3$ и $f>a$ ни одна пара не удовлетворяет (например, при $a=19$ получим $f=2\text{,}$ что противоречит $f>a$).
3. Если $p=6$ (следующий возможный делитель), то $f\cdot a=19\text{.}$ Чтобы $a>6\text{,}$ должно быть $a=19\text{,}$ тогда $f=1\text{,}$ что противоречит условию $f>a\text{.}$
4. Для любых $p⩾19$ произведение $f\cdot a⩽6\text{,}$ что делает выполнение условия $a>p$ невозможным.

Таким образом, единственное решение: $p=2\text{,}$ $a=3\text{,}$ $f=19\text{.}$

Ответ: 19.