Задача №14016

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $1930\text{,}$ но меньшее $2200\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $N$ — четырёхзначное, причём $1930<N<2200\text{,}$ все его цифры различны и ненулевые, и $N$ делится на каждую свою цифру.

1. Рассмотрим случай, когда первая цифра равна $1\text{.}$ Так как $N>1930\text{,}$ то вторая цифра должна быть $9\text{.}$ Тогда число имеет вид $19ab\text{,}$ где $a$ и $b$ — цифры, отличные от $1$ и $9$ и друг от друга, и ненулевые, то есть $a;b\in \{2;3;4;5;6;7;8\}\text{,}$ $a\ne b\text{.}$

Поскольку цифра $9$ входит в запись числа, $N$ должно делиться на $9\text{.}$ Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр числа делится на $9\text{.}$ Сумма цифр:

Чтобы $10+a+b$ делилось на $9\text{,}$ учитывая, что сумма $a+b$ может принимать значения от $5$ до $15\text{,}$ получаем $10+a+b=18\text{,}$ откуда $a+b=8\text{.}$

Возможные пары $(a;b)$ с суммой $8$ и различными цифрами: $(3;5)\text{,}$ $(2;6)$ и их перестановки. Получаем числа: $1935,1953,1926,1962\text{.}$ Проверим каждое:

• $1935\text{:}$ делится на $3$ (сумма цифр $18$) и на $5$ (оканчивается на $5$), также делится на $9\text{.}$ Цифры $1,9,3,5$ различны. Условие $N>1930$ выполнено.
• $1953\text{:}$ не делится на $5\text{,}$ так как оканчивается на $3\text{.}$
• $1926\text{:}$ меньше $1930\text{,}$ не удовлетворяет условию.
• $1962\text{:}$ делится на $2,6,9\text{.}$ Цифры $1,9,6,2$ различны, и $1962>1930\text{.}$

2. Рассмотрим случай, когда первая цифра равна $2\text{.}$ Так как $N<2200\text{,}$ то вторая цифра должна быть $1\text{.}$ Тогда число имеет вид $21ab\text{,}$ где $a$ и $b$ — цифры, отличные от $2,1$ и друг от друга, и ненулевые.

Поскольку цифра $2$ входит в запись, $N$ должно быть чётным. Поэтому $b$ чётное, и так как цифры ненулевые и не равны $2$ или $1\text{,}$ то $b\in \{4;6;8\}\text{.}$

• Если $b=4\text{,}$ находим, что при $a=8$ число $2184$ делится на $8$ и на $4\text{.}$ Цифры $2,1,8,4$ различны.
• Если $b=6\text{,}$ при $a=3$ число $2136$ делится на $3$ и на $6\text{.}$ При $a=9$ число $2196$ делится на $9$ и на $6\text{.}$
• Если $b=8\text{,}$ подходящих $a$ нет.

Итак, условию удовлетворяют числа: $1935,1962,2136,2184,2196\text{.}$ В ответ можно указать любое из них.

Ответ: 1935