Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 1930 , но меньшее 2200 , которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число N — четырёхзначное, причём 1930 < N < 2200 , все его цифры различны и ненулевые, и N делится на каждую свою цифру. 1. Рассмотрим случай, когда первая цифра равна 1 . Так как N > 1930 , то вторая цифра должна быть 9 . Тогда число имеет вид 19ab , где a и b — цифры, отличные от 1 и 9 и друг от друга, и ненулевые, то есть a; b in 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 , a != b . Поскольку цифра 9 входит в запись числа, N должно делиться на 9 . Признак делимости на 9 : сумма цифр числа делится на 9 . Сумма цифр: 1 + 9 + a + b = 10 + a + b. Чтобы 10 + a + b делилось на 9 , учитывая, что сумма a + b может принимать значения от 5 до 15 , получаем 10 + a + b = 18 , откуда a + b = 8 . Возможные пары (a; b) с суммой 8 и различными цифрами: (3; 5) , (2; 6) и их перестановки. Получаем числа: 1935, 1953, 1926, 1962 . Проверим каждое: - 1935 : делится на 3 (сумма цифр 18 ) и на 5 (оканчивается на 5 ), также делится на 9 . Цифры 1, 9, 3, 5 различны. Условие N > 1930 выполнено. - 1953 : не делится на 5 , так как оканчивается на 3 . - 1926 : меньше 1930 , не удовлетворяет условию. - 1962 : делится на 2, 6, 9 . Цифры 1, 9, 6, 2 различны, и 1962 > 1930 . 2. Рассмотрим случай, когда первая цифра равна 2 . Так как N < 2200 , то вторая цифра должна быть 1 . Тогда число имеет вид 21ab , где a и b — цифры, отличные от 2, 1 и друг от друга, и ненулевые. Поскольку цифра 2 входит в запись, N должно быть чётным. Поэтому b чётное, и так как цифры ненулевые и не равны 2 или 1 , то b in 4; 6; 8 . - Если b = 4 , находим, что при a = 8 число 2184 делится на 8 и на 4 . Цифры 2, 1, 8, 4 различны. - Если b = 6 , при a = 3 число 2136 делится на 3 и на 6 . При a = 9 число 2196 делится на 9 и на 6 . - Если b = 8 , подходящих a нет. Итак, условию удовлетворяют числа: 1935, 1962, 2136, 2184, 2196 . В ответ можно указать любое из них. Ответ: 1935

1935