Задача №14014

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее $1360\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет вид $\overline{1abc}\text{,}$ где $a;b;c$ — цифры, все цифры различны и не равны нулю. Тогда число:

Поскольку $N<1360\text{,}$ имеем $1000+100a<1360\text{,}$ откуда $100a<360$ и $a<3,6\text{.}$ Цифра $a$ не может быть равна $1$ (первая цифра уже $1$), поэтому возможные значения $a\text{:}$ $2$ или $3\text{.}$

Рассмотрим случай $a=2\text{.}$ Тогда $N=1200+10b+c\text{.}$ Цифры $b$ и $c$ выбираются из множества $\{3;4;5;6;7;8;9\}\text{,}$ причём $b\ne c\text{.}$

Условие делимости: $N$ должно делиться на $2\text{,}$ на $b$ и на $c\text{.}$

Из делимости на $2\text{:}$ числа $1200$ и $10b$ чётные, поэтому чётность $N$ зависит от $c\text{.}$ Следовательно, $c$ должно быть чётной цифрой. Возможные значения $c\text{:}$ $4;6;8\text{.}$

Подберём подходящие $b$ и $c\text{.}$ Например, возьмём $b=3\text{,}$ $c=6\text{.}$ Тогда:

Проверим:

1. Цифры числа $1236\text{:}$ $1;2;3;6$ — все различны и не равны нулю.
2. $1236<1360\text{.}$
3. Делимость: на $1$ — тривиально; на $2$ — $1236$ чётно; на $3$ — сумма цифр $1+2+3+6=12$ делится на $3\text{;}$ на $6$ — так как число делится на $2$ и на $3\text{,}$ оно делится на $6\text{.}$

Таким образом, число $1236$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 1236