Задача №14013

Найдите четырёхзначное число, кратное $12\text{,}$ произведение цифр которого больше $40\text{,}$ но меньше $45\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число кратно $12\text{,}$ оно должно делиться на $3$ и на $4\text{.}$

Произведение цифр больше $40$ и меньше $45\text{,}$ значит, оно может быть равно $41,42,43$ или $44\text{.}$

Числа $41$ и $43$ — простые и не могут быть произведением цифр (цифры от $1$ до $9$). Число $44=4\cdot 11\text{,}$ но $11$ не является цифрой. Следовательно, произведение цифр равно $42\text{.}$

Разложим $42$ на множители-цифры. Возможные наборы четырёх цифр (первая цифра не ноль) с произведением $42\text{:}$

1. $1,2,3,7\text{,}$ так как $1\cdot 2\cdot 3\cdot 7=42\text{.}$
2. $1,1,6,7\text{,}$ так как $1\cdot 1\cdot 6\cdot 7=42\text{.}$

Для набора $1,2,3,7$ сумма цифр:

Сумма не делится на $3\text{,}$ поэтому числа, составленные из этих цифр, не делятся на $3$ и не могут быть кратны $12\text{.}$

Для набора $1,1,6,7$ сумма цифр:

Сумма делится на $3\text{,}$ значит, числа делятся на $3\text{.}$

Чтобы число делилось на $4\text{,}$ число, составленное из последних двух цифр, должно делиться на $4\text{.}$ Из цифр $1,1,6,7$ возможные двузначные числа, делящиеся на $4\text{:}$ $16$ и $76\text{.}$

Рассмотрим возможные варианты:

• Если последние две цифры $16\text{,}$ то оставшиеся цифры $1$ и $7\text{.}$ Первые две цифры могут быть $17$ или $71\text{.}$ Получаем числа $1716$ и $7116\text{.}$
• Если последние две цифры $76\text{,}$ то оставшиеся цифры $1$ и $1\text{.}$ Получаем число $1176\text{.}$

Проверим число $1176\text{:}$

1. Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 7\cdot 6=42\text{,}$ что находится в интервале от $40$ до $45\text{.}$
2. Сумма цифр: $1+1+7+6=15\text{,}$ делится на $3\text{.}$
3. Последние две цифры: $76\text{,}$ делится на $4\text{.}$

Следовательно, число $1176$ кратно $12\text{.}$ Аналогично подходят числа $1716$ и $7116\text{.}$

Ответ: 1176