Задача №14011

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $4\text{,}$ и на $5\text{,}$ и на $6$ даёт в остатке $1$ и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $N\text{.}$ По условию, при делении на $4\text{,}$ $5$ и $6$ оно даёт в остатке $1\text{.}$ Значит, $N-1$ делится на $4\text{,}$ на $5$ и на $6\text{.}$ Следовательно, $N-1$ делится на $\text{НОК}(4;5;6)\text{.}$

Найдём $\text{НОК}(4;5;6)\text{:}$

Таким образом, $N-1$ кратно $60\text{,}$ то есть $N=60k+1\text{,}$ где $k$ — натуральное число.

Поскольку $N$ — трёхзначное число, имеем:

Вычтем $1\text{:}$

Разделим на $60\text{:}$

Так как $k$ — целое число, то $k\in \{2;3;\dots ;16\}\text{.}$

Теперь для каждого $k$ найдём $N=60k+1$ и проверим, что цифры числа расположены в порядке убывания: если число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ то $a>b>c\text{.}$

Переберём значения $k\text{:}$

1. $k=2\text{:}$ $N=121$ — цифры $1,2,1$ не убывают.
2. $k=3\text{:}$ $N=181$ — цифры $1,8,1$ не убывают.
3. $k=4\text{:}$ $N=241$ — цифры $2,4,1$ не убывают ($2<4$).
4. $k=5\text{:}$ $N=301$ — цифры $3,0,1$ не убывают ($0<1$).
5. $k=6\text{:}$ $N=361$ — цифры $3,6,1$ не убывают ($3<6$).
6. $k=7\text{:}$ $N=421$ — цифры $4,2,1$ ($4>2>1$), условие выполнено.
7. $k=8\text{:}$ $N=481$ — цифры $4,8,1$ не убывают ($4<8$).
8. $k=9\text{:}$ $N=541$ — цифры $5,4,1$ ($5>4>1$), условие выполнено.
9. $k=10\text{:}$ $N=601$ — цифры $6,0,1$ не убывают ($0<1$).
10. $k=11\text{:}$ $N=661$ — цифры $6,6,1$ не убывают ($6=6$).
11. $k=12\text{:}$ $N=721$ — цифры $7,2,1$ ($7>2>1$), условие выполнено.
12. $k=13\text{:}$ $N=781$ — цифры $7,8,1$ не убывают ($7<8$).
13. $k=14\text{:}$ $N=841$ — цифры $8,4,1$ ($8>4>1$), условие выполнено.
14. $k=15\text{:}$ $N=901$ — цифры $9,0,1$ не убывают ($0<1$).
15. $k=16\text{:}$ $N=961$ — цифры $9,6,1$ ($9>6>1$), условие выполнено.

Итак, подходят числа: $421,541,721,841,961\text{.}$

Ответ: 421