Задача №14008

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $2000\text{,}$ но меньшее $3000\text{,}$ которое делится на $60$ и сумма цифр которого равна $12\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $N$ — четырёхзначное, причём $2000<N<3000\text{,}$ поэтому первая цифра равна $2\text{.}$ Обозначим цифры сотен, десятков и единиц через $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ соответственно. Тогда $N=2000+100a+10b+c\text{,}$ где $a,b,c$ — цифры от $0$ до $9\text{.}$

Из условия сумма цифр равна $12\text{:}$

Число $N$ должно делиться на $60\text{.}$ Поскольку $60=4\cdot 3\cdot 5$ и множители взаимно просты, $N$ должно делиться на $4\text{,}$ на $3$ и на $5\text{.}$

1. Делимость на $5\text{:}$ последняя цифра $c$ равна $0$ или $5\text{.}$
2. Делимость на $4\text{:}$ число, образованное двумя последними цифрами, то есть $10b+c\text{,}$ должно делиться на $4\text{.}$
3. Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр должна делиться на $3\text{.}$ Так как сумма цифр равна $12$ и $12$ делится на $3\text{,}$ это условие выполняется автоматически.

Рассмотрим возможные значения $c\text{:}$

1. Если $c=0\text{,}$ то $a+b=10\text{.}$ Условие делимости на $4\text{:}$ $10b$ должно делиться на $4\text{.}$ Так как $10b$ делится на $4$ только если $b$ чётно (поскольку $\text{НОД}(10;4)=2$), получаем $b\in \{2;4;6;8\}$ (значение $b=0$ не подходит, так как тогда $a=10\text{,}$ что невозможно для цифры).

Найдём соответствующие значения $a$ и $N\text{:}$

• Если $b=2\text{,}$ то $a=8\text{,}$ тогда $N=2820\text{;}$
• Если $b=4\text{,}$ то $a=6\text{,}$ тогда $N=2640\text{;}$
• Если $b=6\text{,}$ то $a=4\text{,}$ тогда $N=2460\text{;}$
• Если $b=8\text{,}$ то $a=2\text{,}$ тогда $N=2280\text{.}$

Все эти числа удовлетворяют условиям задачи.

2. Если $c=5\text{,}$ то $a+b=5\text{.}$ Условие делимости на $4\text{:}$ $10b+5$ должно делиться на $4\text{.}$ Однако $10b+5=5(2b+1)$ — нечётное число, поэтому оно не может делиться на $4\text{.}$ Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, в качестве ответа можно указать любое из чисел: $2280\text{,}$ $2460\text{,}$ $2640\text{,}$ $2820\text{.}$

Ответ: 2280