Задача №14007

Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 5, и на 6 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $N$ записывается цифрами $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{:}$ $N=100a+10b+c\text{,}$ где $a$ — цифра сотен ($1⩽a⩽4\text{,}$ так как число меньше 500), $b$ и $c$ — цифры десятков и единиц ($0⩽b,c⩽9$).

1. Условие: при делении на 5 и на 6 число даёт равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток $r$ ($1⩽r⩽4\text{,}$ так как остаток меньше делителя и не равен нулю). Тогда:

Отсюда $N-r$ делится и на 5, и на 6, значит, делится на $\text{НОК}(5;6)=30\text{.}$ Поэтому существует целое $k$ такое, что:

2. Из $N=30k+r$ следует, что последняя цифра числа $N$ равна $r$ (поскольку $30k$ оканчивается нулём). Таким образом, $c=r\text{.}$

3. По условию, последняя цифра $c$ является средним арифметическим двух других цифр:

4. Подставим $c=r$ в выражение для $N\text{:}$

Значит, $10a+b$ делится на 3.

5. Теперь переберём возможные значения $r$ от 1 до 4. Для каждого $r$ имеем $c=r$ и $a+b=2r\text{.}$ Также $10a+b$ должно делиться на 3, а $a$ принимает значения 1, 2, 3, 4.

• При $r=1\text{:}$ $c=1\text{,}$ $a+b=2\text{.}$ Возможные пары $(a;b)\text{:}$ (1; 1) и (2; 0). Для них $10a+b$ равно 11 и 20, ни одно не делится на 3. Подходящих чисел нет.
• При $r=2\text{:}$ $c=2\text{,}$ $a+b=4\text{.}$ Пары: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0). $10a+b$ равно 13, 22, 31, 40 — ни одно не делится на 3. Нет подходящих.
• При $r=3\text{:}$ $c=3\text{,}$ $a+b=6\text{.}$ Пары: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2). $10a+b$ равно 15, 24, 33, 42 — все делятся на 3. Соответствующие числа:
  • $a=1,b=5,c=3\text{:}$ $N=153$
  • $a=2,b=4,c=3\text{:}$ $N=243$
  • $a=3,b=3,c=3\text{:}$ $N=333$
  • $a=4,b=2,c=3\text{:}$ $N=423$
    Все числа меньше 500, и для каждого последняя цифра 3 есть среднее арифметическое первых двух: например, для 153: $(1+5)/2=3\text{.}$ Также они удовлетворяют условию про остатки, так как $N=30k+3$ даёт остаток 3 при делении на 5 и на 6.
• При $r=4\text{:}$ $c=4\text{,}$ $a+b=8\text{.}$ Пары: (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4). $10a+b$ равно 17, 26, 35, 44 — ни одно не делится на 3. Подходящих чисел нет.

6. Таким образом, подходят числа 153, 243, 333, 423. По условию достаточно указать одно такое число. Например, 153.

Ответ: 153