Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 5, и на 6 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число N записывается цифрами a , b , c : N = 100a + 10b + c , где a — цифра сотен ( 1 a 4 , так как число меньше 500), b и c — цифры десятков и единиц ( 0 b, c 9 ). 1. Условие: при делении на 5 и на 6 число даёт равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток r ( 1 r 4 , так как остаток меньше делителя и не равен нулю). Тогда: N === r +-od5 и N === r +-od6. Отсюда N - r делится и на 5, и на 6, значит, делится на НОК(5; 6) = 30 . Поэтому существует целое k такое, что: N = 30k + r. 2. Из N = 30k + r следует, что последняя цифра числа N равна r (поскольку 30k оканчивается нулём). Таким образом, c = r . 3. По условию, последняя цифра c является средним арифметическим двух других цифр: c = (a + b)/(2) => a + b = 2c = 2r. 4. Подставим c = r в выражение для N : N = 100a + 10b + r = 30k + r => 100a + 10b = 30k => 10a + b = 3k. Значит, 10a + b делится на 3. 5. Теперь переберём возможные значения r от 1 до 4. Для каждого r имеем c = r и a + b = 2r . Также 10a + b должно делиться на 3, а a принимает значения 1, 2, 3, 4. - При r = 1 : c = 1 , a + b = 2 . Возможные пары (a; b) : (1; 1) и (2; 0). Для них 10a + b равно 11 и 20, ни одно не делится на 3. Подходящих чисел нет. - При r = 2 : c = 2 , a + b = 4 . Пары: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0). 10a + b равно 13, 22, 31, 40 — ни одно не делится на 3. Нет подходящих. - При r = 3 : c = 3 , a + b = 6 . Пары: (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2). 10a + b равно 15, 24, 33, 42 — все делятся на 3. Соответствующие числа: - a = 1, b = 5, c = 3 : N = 153 - a = 2, b = 4, c = 3 : N = 243 - a = 3, b = 3, c = 3 : N = 333 - a = 4, b = 2, c = 3 : N = 423 Все числа меньше 500, и для каждого последняя цифра 3 есть среднее арифметическое первых двух: например, для 153: (1 + 5) / 2 = 3 . Также они удовлетворяют условию про остатки, так как N = 30k + 3 даёт остаток 3 при делении на 5 и на 6. - При r = 4 : c = 4 , a + b = 8 . Пары: (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4). 10a + b равно 17, 26, 35, 44 — ни одно не делится на 3. Подходящих чисел нет. 6. Таким образом, подходят числа 153, 243, 333, 423. По условию достаточно указать одно такое число. Например, 153. Ответ: 153

153