Задача №14005

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 172. Какое число было загадано?

Пусть загаданное число равно $x$ (натуральное). По условию:

где $A,B,C$ — натуральные числа, причём $5<A<9\text{,}$ $5<B<9\text{,}$ $5<C<9\text{,}$ то есть $A,B,C\in \{6;7;8\}\text{.}$

Перенесём слагаемые:

Обозначим $D=172-B+C\text{.}$ Так как $B,C\in \{6;7;8\}\text{,}$ вычислим возможные значения $D\text{:}$

• Если $B=6\text{,}$ $C=6\text{,}$ то $D=172-6+6=172\text{.}$
• Если $B=6\text{,}$ $C=7\text{,}$ то $D=172-6+7=173\text{.}$
• Если $B=6\text{,}$ $C=8\text{,}$ то $D=172-6+8=174\text{.}$
• Если $B=7\text{,}$ $C=6\text{,}$ то $D=172-7+6=171\text{.}$
• Если $B=7\text{,}$ $C=7\text{,}$ то $D=172-7+7=172\text{.}$
• Если $B=7\text{,}$ $C=8\text{,}$ то $D=172-7+8=173\text{.}$
• Если $B=8\text{,}$ $C=6\text{,}$ то $D=172-8+6=170\text{.}$
• Если $B=8\text{,}$ $C=7\text{,}$ то $D=172-8+7=171\text{.}$
• Если $B=8\text{,}$ $C=8\text{,}$ то $D=172-8+8=172\text{.}$

Таким образом, $D\in \{170;171;172;173;174\}\text{.}$

Теперь $x=\frac{D}{A}$ должно быть натуральным числом. Переберём возможные значения $A\in \{6;7;8\}\text{:}$

1. $A=6\text{.}$ Тогда $D$ должно делиться на 6. Среди чисел $\{170;171;172;173;174\}$ только 174 делится на 6 ($174:6=29$). Значит, $D=174$ и $x=29\text{.}$ При этом $D=174$ соответствует $172-B+C=174\text{,}$ откуда $C-B=2\text{.}$ Поскольку $B,C\in \{6;7;8\}\text{,}$ это возможно при $B=6\text{,}$ $C=8\text{.}$ Проверим: $6\cdot 29+6-8=174+6-8=172\text{.}$ Всё верно.

2. $A=7\text{.}$ Ни одно из чисел $\{170;171;172;173;174\}$ не делится на 7 (например, $170:7\approx 24,286$). Следовательно, $A=7$ не подходит.

3. $A=8\text{.}$ Ни одно из чисел $\{170;171;172;173;174\}$ не делится на 8 (например, $170:8=21,25$). Следовательно, $A=8$ не подходит.

Таким образом, загаданное число — 29.

Ответ: 29