Задача №14003

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 108, в третьем — 113, а сумма чисел в каждой строке больше 28, но меньше 31. Сколько всего строк в таблице?

Пусть $n$ — количество строк в таблице.

Сумма всех чисел в таблице равна сумме чисел по столбцам:

Сумма чисел в каждой строке — целое число, так как все числа натуральные. По условию она больше 28 и меньше 31, поэтому может быть равна только 29 или 30.

Пусть $a$ строк имеют сумму 29, а $b$ строк — сумму 30. Тогда имеем систему:

Выразим $b$ через $n\text{:}$

Так как $b$ — количество строк, оно должно быть целым и удовлетворять условию $0⩽b⩽n\text{.}$

1. Из условия $b⩾0$ получаем:

2. Из условия $b⩽n$ получаем:

Так как $n$ — целое число, из условий $n⩽11$ и $n⩾11$ следует, что $n=11\text{.}$

Проверим полученный результат. При $n=11$ получаем:
$b=324-29\cdot 11=324-319=5\text{;}$
$a=11-5=6\text{.}$

Общая сумма строк:
$6\cdot 29+5\cdot 30=174+150=324\text{,}$ что согласуется с суммой по столбцам. Условия на суммы строк выполнены.

Ответ: 11.