Задача №14002

Найдите четырёхзначное число, которое в 14 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть натуральное число равно $n\text{.}$ Тогда куб этого числа равен $n^3\text{.}$ По условию четырёхзначное число $x$ удовлетворяет уравнению $x=\frac{n^3}{14}\text{,}$ откуда $n^3=14x\text{.}$

Так как $x$ — четырёхзначное число, то $1000⩽x⩽9999\text{.}$ Умножая неравенство на 14, получаем:

Найдём целые $n\text{,}$ для которых $n^3$ попадает в этот интервал. Кубический корень из $14000$ примерно равен $24,1\text{,}$ а из $139986$ — примерно $51,9\text{.}$ Значит, $n$ может принимать значения от 25 до 51 включительно.

Поскольку $x=\frac{n^3}{14}$ должно быть целым, число $n^3$ должно делиться на 14. Проверим $n=28$ (оно кратно 14):

Тогда:

Число 1568 является четырёхзначным ($1000⩽1568⩽9999$). Условие выполнено.

Ответ: 1568