Задача №14000

Найдите четырёхзначное число, большее $3500\text{,}$ но меньшее $4000\text{,}$ которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $24\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Четырёхзначное число имеет вид $3bcd\text{,}$ где $b$ — цифра от $5$ до $9\text{,}$ $c$ и $d$ — цифры от $0$ до $9\text{.}$ Число должно удовлетворять условиям:

1. Сумма цифр: $3+b+c+d=24\Rightarrow b+c+d=21\text{.}$

2. Число делится на $24\text{.}$ Поскольку $24=3\cdot 8\text{,}$ число должно делиться на $3$ и на $8\text{.}$ Сумма цифр $24$ делится на $3\text{,}$ поэтому условие делимости на $3$ выполнено. Осталось проверить условие делимости на $8\text{.}$

Число можно представить в виде $3000+(100b+10c+d)\text{.}$ Заметим, что $3000$ делится на $8$ ($3000=8\cdot 375$). Следовательно, число $3bcd$ делится на $8$ тогда и только тогда, когда число $bcd$ делится на $8\text{.}$

Таким образом, ищем цифры $b,c,d$ такие, что:

• $b$ принимает значения от $5$ до $9\text{;}$
• $c,d$ — цифры от $0$ до $9\text{;}$
• $b+c+d=21\text{;}$
• число $100b+10c+d$ делится на $8\text{.}$

Переберём возможные значения $b\text{.}$

• При $b=5\text{:}$ $c+d=16\text{.}$ Проверяя возможные пары $(c;d)\text{,}$ находим, что ни одна из них не даёт число $5cd\text{,}$ делящееся на $8\text{.}$ Например, $579,588,597$ не делятся на $8\text{.}$

• При $b=6\text{:}$ $c+d=15\text{.}$ Условие делимости на $8$ приводит к $c\equiv 1(\mathrm{mod}8)\text{.}$ Из цифр подходит $c=9\text{,}$ тогда $d=6\text{.}$ Число $696$ делится на $8\text{.}$ Получаем число $3696\text{.}$

• При $b=7\text{:}$ $c+d=14\text{.}$ Условие делимости даёт $c\equiv 6(\mathrm{mod}8)\text{,}$ откуда $c=6\text{,}$ $d=8\text{.}$ Число $768$ делится на $8\text{.}$ Получаем число $3768\text{.}$

• При $b=8\text{:}$ $c+d=13\text{.}$ Условие делимости требует $c\equiv 3(\mathrm{mod}8)\text{,}$ но $c=3$ даёт $d=10\text{,}$ что не является цифрой. Решений нет.

• При $b=9\text{:}$ $c+d=12\text{.}$ Условие делимости даёт $c\equiv 0(\mathrm{mod}8)\text{,}$ откуда $c=8\text{,}$ $d=4\text{.}$ Число $984$ делится на $8\text{.}$ Получаем число $3984\text{.}$

Таким образом, подходящие числа: $3696\text{,}$ $3768\text{,}$ $3984\text{.}$ Любое из них можно указать в ответе.

Ответ: $3696$