Найдите трёхзначное число, кратное 30 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4 , но не делится на 16 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое число имеет вид abc . Разберём условия задачи по порядку: Число кратно 30 . Это означает, что оно одновременно кратно 10 и 3 . Из признака делимости на 10 следует, что последняя цифра c = 0 . Из признака делимости на 3 следует, что сумма его цифр a + b + c = a + b + 0 = a + b должна делиться на 3 . Все цифры числа различны. Поскольку c = 0 , а первая цифра a не может быть нулём, имеем: a != 0 , b != 0 и a != b . Сумма квадратов цифр S = a^2 + b^2 + 0^2 = a^2 + b^2 делится на 4 . Квадрат любого целого числа при делении на 4 даёт в остатке либо 0 (если число чётное), либо 1 (если число нечётное). Чтобы сумма двух квадратов a^2 + b^2 делилась на 4 , оба числа a и b обязаны быть чётными. Из пунктов 2 и 3 следует, что a и b — это различные чётные цифры из набора 2; 4; 6; 8 . Проверим пары цифр из этого набора, сумма которых делится на 3 : Пара 2; 4 : сумма 2 + 4 = 6 (делится на 3 ). Сумма квадратов: S = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20. Число 20 делится на 4 и не делится на 16 . Условие задачи выполнено. Получаем числа 240 и 420 . Пара 4; 8 : сумма 4 + 8 = 12 (делится на 3 ). Сумма квадратов: S = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80. Так как 80 = 16 * 5 , число 80 делится на 16 . Условие не выполнено. Другие пары чётных цифр (например, 2 и 6 , 2 и 8 , 6 и 8 ) в сумме не дают число, кратное 3 . Таким образом, условиям удовлетворяют числа 240 и 420 . В ответе достаточно указать одно из них. Ответ: 240
240