Задача №13991

Найдите трёхзначное число, кратное $30\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет вид $\overline{abc}\text{.}$

Разберём условия задачи по порядку:

1. Число кратно $30\text{.}$ Это означает, что оно одновременно кратно $10$ и $3\text{.}$ Из признака делимости на $10$ следует, что последняя цифра $c=0\text{.}$ Из признака делимости на $3$ следует, что сумма его цифр $a+b+c=a+b+0=a+b$ должна делиться на $3\text{.}$

2. Все цифры числа различны. Поскольку $c=0\text{,}$ а первая цифра $a$ не может быть нулём, имеем: $a\ne 0\text{,}$ $b\ne 0$ и $a\ne b\text{.}$

3. Сумма квадратов цифр $S=a^2+b^2+0^2=a^2+b^2$ делится на $4\text{.}$ Квадрат любого целого числа при делении на $4$ даёт в остатке либо $0$ (если число чётное), либо $1$ (если число нечётное). Чтобы сумма двух квадратов $a^2+b^2$ делилась на $4\text{,}$ оба числа $a$ и $b$ обязаны быть чётными.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $a$ и $b$ — это различные чётные цифры из набора $\{2;4;6;8\}\text{.}$

5. Проверим пары цифр из этого набора, сумма которых делится на $3\text{:}$

• Пара $\{2;4\}\text{:}$ сумма $2+4=6$ (делится на $3$). Сумма квадратов:

Число $20$ делится на $4$ и не делится на $16\text{.}$ Условие задачи выполнено. Получаем числа $240$ и $420\text{.}$

• Пара $\{4;8\}\text{:}$ сумма $4+8=12$ (делится на $3$). Сумма квадратов:

Так как $80=16\cdot 5\text{,}$ число $80$ делится на $16\text{.}$ Условие не выполнено.

• Другие пары чётных цифр (например, $2$ и $6\text{,}$ $2$ и $8\text{,}$ $6$ и $8$) в сумме не дают число, кратное $3\text{.}$

Таким образом, условиям удовлетворяют числа $240$ и $420\text{.}$ В ответе достаточно указать одно из них.

Ответ: 240