Задача №13990

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $3000\text{,}$ но меньшее $3200\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. По условию задачи искомое четырёхзначное число $N$ находится в интервале $3000<N<3200\text{.}$ Это означает, что первая цифра числа — $3\text{,}$ а вторая — либо $0\text{,}$ либо $1\text{.}$

2. Число должно делиться на каждую свою цифру. Это означает, что ни одна из цифр не может быть нулём, так как деление на ноль не определено. Следовательно, вторая цифра числа может быть только $1\text{.}$ Число принимает вид $31xy\text{.}$

3. Так как все цифры должны быть различны, цифры $x$ и $y$ не могут принимать значения $1$ или $3\text{,}$ а также $0\text{.}$ Возможные значения для $x$ и $y$ — это цифры из множества $\{2;4;5;6;7;8;9\}\text{.}$

4. Условие делимости на цифры $3$ и $1\text{:}$

• число делится на $1$ всегда;
• чтобы число делилось на $3\text{,}$ сумма его цифр $3+1+x+y=4+x+y$ должна делиться на $3\text{.}$

5. Подберём подходящие значения $x$ и $y\text{:}$

• Попробуем $x=2\text{.}$ Тогда сумма цифр равна $6+y\text{.}$ Чтобы она делилась на $3\text{,}$ $y$ должно быть кратно $3\text{.}$ Поскольку $y\ne 3$ и $y\ne 0\text{,}$ рассмотрим $y=6\text{.}$
• Проверим число $3126\text{:}$
  • цифры $3,1,2,6$ различны;
  • число делится на $1$ и $3$ (сумма цифр $12$);
  • число делится на $2$ (оканчивается на чётную цифру);
  • число делится на $6$ (делится на $2$ и на $3$ одновременно).

Все условия выполнены.

Примечание: также условию удовлетворяют числа $3162$ и $3168\text{.}$

Ответ: 3126