Задача №13989

Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Условие: найти трёхзначное число, кратное 11, все цифры различны, сумма квадратов цифр делится на 4, но не на 16.

Критерии:

1. $\overline{abc}$ делится на 11: $(a+c)-b$ кратно 11.
2. Цифры $a,b,c$ различны.
3. $a^2+b^2+c^2$ делится на 4, но не на 16.

Решение:

Рассмотрим случай $(a+c)-b=0\text{,}$ т.е. $a+c=b\text{.}$ Для числа 264: $2+4=6\text{,}$ значит $b=6\text{.}$ Цифры 2,6,4 различны.

Сумма квадратов: $2^2+6^2+4^2=4+36+16=56\text{.}$

56 делится на 4 ($56÷4=14$), но не делится на 16 ($56÷16=3,5$).

Также $264÷11=24\text{.}$

Проверка: все условия выполнены.

Ответ: 264