Задача №13988

Найдите четырёхзначное число, кратное $88\text{,}$ все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию все его цифры принадлежат множеству чётных цифр $\{0;2;4;6;8\}\text{,}$ являются различными и само число делится на $88\text{.}$

Так как $88=8\cdot 11$ и эти множители взаимно просты, число должно одновременно делиться на $8$ и на $11\text{.}$

1. Признак делимости на $11\text{:}$ знакочередующаяся сумма цифр $a-b+c-d$ должна делиться на $11\text{.}$ Поскольку все цифры чётные, сумма $a-b+c-d$ также будет чётной. Единственное чётное число, делящееся на $11$ в диапазоне возможных сумм для различных цифр данного множества (от $-12$ до $12$), — это $0\text{.}$ Следовательно, $a-b+c-d=0$ или $a+c=b+d\text{.}$

2. Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное последними тремя цифрами $\overline{bcd}\text{,}$ должно делиться на $8\text{.}$

Рассмотрим наборы цифр с равными суммами пар из множества $\{0;2;4;6;8\}\text{:}$

• Суммы равны $6\text{:}$ пары $\{0;6\}$ и $\{2;4\}\text{;}$
• Суммы равны $10\text{:}$ пары $\{2;8\}$ и $\{4;6\}\text{.}$

Проверим первый вариант (цифры $0\text{,}$ $2\text{,}$ $4\text{,}$ $6$):
Пусть $\{a;c\}=\{2;4\}$ и $\{b;d\}=\{0;6\}\text{.}$
Если $a=2$ и $c=4\text{,}$ то возможные числа:

• $2046$ (не делится на $8\text{,}$ так как $046$ не делится на $8$);
• $2640\text{.}$ Проверим: $640:8=80\text{.}$ Число делится на $8$ и на $11\text{.}$

Проверка условий для числа $2640\text{:}$

• четырёхзначное: да;
• кратно $88\text{:}$ $2640=88\cdot 30$ — да;
• все цифры различны: $2;6;4;0$ — да;
• все цифры чётны: да.

Аналогично можно найти и другие подходящие числа, например, $6248$ или $8624\text{.}$

Ответ: $2640$