Задача №13987

Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Трёхзначное число кратно 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Так как по условию все цифры числа должны быть различны, вариант с окончанием 00 не подходит. Рассмотрим оставшиеся случаи.

1. Пусть число оканчивается на 25. Оно имеет вид $\overline{a25}\text{,}$ где $a\in \{1;3;4;6;7;8;9\}\text{.}$ Сумма квадратов цифр равна:

Проверим значения $a\text{:}$

• Если $a=1\text{,}$ то $S=1^2+29=30\text{.}$ Число 30 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 125 подходит.
• Если $a=7\text{,}$ то $S=7^2+29=49+29=78\text{.}$ Число 78 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 725 подходит.
• Если $a=8\text{,}$ то $S=8^2+29=64+29=93\text{.}$ Число 93 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 825 подходит.

2. Пусть число оканчивается на 50. Оно имеет вид $\overline{a50}\text{,}$ где $a\in \{1;2;3;4;6;7;8;9\}\text{.}$ Сумма квадратов цифр равна:

Перебор показывает, что для данных $a$ сумма $S$ не удовлетворяет условию кратности 3 (например, при $a=1,S=26\text{;}$ при $a=2,S=29\text{;}$ при $a=4,S=41$ и т. д.).

3. Пусть число оканчивается на 75. Оно имеет вид $\overline{a75}\text{,}$ где $a\in \{1;2;3;4;6;8;9\}\text{.}$ Сумма квадратов цифр равна:

• Если $a=1\text{,}$ то $S=1+74=75\text{.}$ Число 75 делится на 3, но не на 9. Число 175 подходит.
• Если $a=2\text{,}$ то $S=4+74=78\text{.}$ Число 78 делится на 3, но не на 9. Число 275 подходит.
• Если $a=8\text{,}$ то $S=64+74=138\text{.}$ Число 138 делится на 3, но не на 9. Число 875 подходит.

В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: 125