Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Трёхзначное число кратно 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Так как по условию все цифры числа должны быть различны, вариант с окончанием 00 не подходит. Рассмотрим оставшиеся случаи. 1. Пусть число оканчивается на 25. Оно имеет вид a25 , где a in 1; 3; 4; 6; 7; 8; 9 . Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + 2^2 + 5^2 = a^2 + 4 + 25 = a^2 + 29 Проверим значения a : - Если a = 1 , то S = 1^2 + 29 = 30 . Число 30 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 125 подходит. - Если a = 7 , то S = 7^2 + 29 = 49 + 29 = 78 . Число 78 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 725 подходит. - Если a = 8 , то S = 8^2 + 29 = 64 + 29 = 93 . Число 93 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 825 подходит. 2. Пусть число оканчивается на 50. Оно имеет вид a50 , где a in 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9 . Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + 5^2 + 0^2 = a^2 + 25 Перебор показывает, что для данных a сумма S не удовлетворяет условию кратности 3 (например, при a = 1, S = 26 ; при a = 2, S = 29 ; при a = 4, S = 41 и т. д.). 3. Пусть число оканчивается на 75. Оно имеет вид a75 , где a in 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9 . Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + 7^2 + 5^2 = a^2 + 49 + 25 = a^2 + 74 - Если a = 1 , то S = 1 + 74 = 75 . Число 75 делится на 3, но не на 9. Число 175 подходит. - Если a = 2 , то S = 4 + 74 = 78 . Число 78 делится на 3, но не на 9. Число 275 подходит. - Если a = 8 , то S = 64 + 74 = 138 . Число 138 делится на 3, но не на 9. Число 875 подходит. В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: 125, 175, 275, 725, 825, 875. Ответ: 125

125