Задача №13984

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $3\text{,}$ и на $4$ даёт в остатке $1$ и цифры в записи которого больше $4\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число — $N\text{.}$ По условию задачи число $N$ при делении и на $3\text{,}$ и на $4$ даёт в остатке $1\text{.}$ Это означает, что число $N-1$ делится нацело на $3$ и на $4\text{.}$ Поскольку числа $3$ и $4$ взаимно просты, их наименьшее общее кратное равно $3\cdot 4=12\text{.}$ Таким образом, число $N-1$ должно делиться на $12\text{.}$

Следовательно, искомое число можно представить в виде:

где $k$ — некоторое натуральное число. Также по условию все цифры в записи числа должны быть больше $4\text{,}$ то есть они могут быть равны только $5;6;7;8;9\text{.}$ Это значит, что само число должно находиться в диапазоне от $555$ до $999\text{.}$

Найдём подходящие значения $k\text{:}$

1. Если $N⩾555\text{,}$ то $12k+1⩾555\Rightarrow 12k⩾554\Rightarrow k⩾46,\mathrm{16...}\text{.}$

2. Проверим $k=47\text{:}$ $N=12\cdot 47+1=564+1=565\text{.}$ Цифры числа: $5\text{,}$ $6\text{,}$ $5\text{.}$ Все они больше $4\text{.}$ Это число подходит.

3. Проверим $k=48\text{:}$ $N=12\cdot 48+1=576+1=577\text{.}$ Цифры числа: $5\text{,}$ $7\text{,}$ $7\text{.}$ Все они больше $4\text{.}$ Это число также подходит.

Ответ: 565