Задача №13982

Найдите четырёхзначное число, большее $3500\text{,}$ но меньшее $4000\text{,}$ которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $24\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое число является четырёхзначным и находится в диапазоне от $3501$ до $3999\text{,}$ следовательно, его первая цифра — $3\text{.}$ Обозначим искомое число как $\overline{3abc}\text{.}$

По условию задачи должны выполняться следующие требования:

1. Число делится на $24\text{.}$ Это означает, что число одновременно делится на $3$ и на $8$ (так как $24=3\cdot 8$).
2. Сумма цифр числа равна $24\text{:}$

Поскольку сумма цифр числа ($24$) делится на $3\text{,}$ то само число делится на $3$ при любых значениях $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющих условию суммы.

Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное последними тремя цифрами ($\overline{abc}$), должно делиться на $8\text{.}$ Следовательно, число должно быть чётным ($c$ — чётная цифра).

Так как число больше $3500\text{,}$ рассмотрим возможные значения для сотни $a$ ($a\in \{5;6;7;8;9\}$):

1. Если $a=6\text{,}$ то $b+c=21-6=15\text{.}$ Возможные пары $(b;c)$ с чётным $c\text{:}$ $(9;6)$ или $(7;8)\text{.}$
— Проверим число $3696\text{:}$ сумма цифр $3+6+9+6=24\text{,}$ число $696$ делится на $8$ ($696:8=87$). Число $3696$ подходит.
— Проверим число $3678\text{:}$ число $678$ не делится на $8$ ($678:8=84,75$).

2. Если $a=7\text{,}$ то $b+c=21-7=14\text{.}$ Возможные пары с чётным $c\text{:}$ $(6;8)\text{,}$ $(8;6)\text{.}$
— Проверим число $3768\text{:}$ сумма цифр $3+7+6+8=24\text{,}$ число $768$ делится на $8$ ($768:8=96$). Число $3768$ подходит.
— Проверим число $3786\text{:}$ число $786$ не делится на $8\text{.}$

3. Если $a=9\text{,}$ то $b+c=21-9=12\text{.}$ Возможные пары с чётным $c\text{:}$ $(4;8)\text{,}$ $(6;6)\text{,}$ $(8;4)\text{.}$
— Проверим число $3984\text{:}$ сумма цифр $3+9+8+4=24\text{,}$ число $984$ делится на $8$ ($984:8=123$). Число $3984$ подходит.

Таким образом, условию удовлетворяют числа $3696\text{,}$ $3768\text{,}$ $3984\text{.}$ В ответе необходимо указать одно из них.

Ответ: 3696