Задача №13981

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 8, и на 10 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является суммой двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $N=\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры ($a\ne 0$).

По условию задачи:

1. Число $N$ при делении на 8 и на 10 даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Так как это остаток от деления на 8, то $1⩽r<8\text{.}$
Поскольку $N\equiv r(\mathrm{mod}8)$ и $N\equiv r(\mathrm{mod}10)\text{,}$ то число $N-r$ делится на $\text{НОК}(8;10)=40\text{.}$
Значит, $N=40k+r\text{,}$ где $k$ — целое число, а $r\in \{1;2;3;4;5;6;7\}\text{.}$

2. Последняя цифра (первая справа) равна сумме двух других цифр: $c=a+b\text{.}$

Представим число в виде суммы разрядных слагаемых:

Подставим $c=a+b\text{:}$

Теперь подберём значения $a$ и $b\text{,}$ учитывая, что $a+b⩽9$ (так как $c$ — цифра) и $N\equiv r(\mathrm{mod}40)\text{:}$

1. При $a=1\text{:}$
- Если $b=0\text{,}$ то $N=101\text{.}$ $101=40\cdot 2+21$ (остаток 21 — не подходит, так как $r<8$).
- Если $b=1\text{,}$ то $N=112\text{.}$ $112=40\cdot 2+32$ (не подходит).
- Если $b=2\text{,}$ то $N=123\text{.}$ $123=40\cdot 3+3\text{.}$ Остаток $r=3\text{.}$ Это значение подходит, так как $1⩽3<8\text{.}$

Проверим число 123:

• $123:8=15$ (остаток 3);
• $123:10=12$ (остаток 3);
• Остатки равны и не равны нулю.
• Последняя цифра 3, сумма первых двух: $1+2=3\text{.}$ Условие выполняется.

Другими подходящими числами могли бы быть 167, 202, 246, 325, 404, 527, 606.

Ответ: 123