Задача №13979

Найдите пятизначное число, кратное $12\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пятизначное число должно удовлетворять двум условиям:

1. Быть кратным $12\text{,}$ то есть делиться одновременно на $3$ и на $4\text{.}$
2. Любые две его соседние цифры должны отличаться на $2\text{.}$

Пусть число имеет вид $\overline{abcde}\text{.}$

Из признака делимости на $4$ следует, что число, образованное последними двумя цифрами $\overline{de}\text{,}$ должно делиться на $4\text{.}$ Учитывая, что любые две соседние цифры отличаются на $2\text{,}$ то есть $|d-e|=2\text{,}$ подберём возможные варианты для пары $(d;e)\text{:}$

1. Если $e=0\text{,}$ то $d=2\text{.}$ Число $20$ делится на $4$ (подходит).
2. Если $e=2\text{,}$ то $d=0$ или $d=4\text{.}$ Числа $02$ и $42$ не делятся на $4$ (не подходят).
3. Если $e=4\text{,}$ то $d=2$ или $d=6\text{.}$ Числа $24$ и $64$ делятся на $4$ (подходят).
4. Если $e=6\text{,}$ то $d=4$ или $d=8\text{.}$ Числа $46$ и $86$ не делятся на $4$ (не подходят).
5. Если $e=8\text{,}$ то $d=6\text{.}$ Число $68$ делится на $4$ (подходит).

Рассмотрим случай, когда число оканчивается на $20$ (то есть $d=2,e=0$).
Так как соседние цифры отличаются на $2\text{,}$ восстановим остальные цифры:

1. Если $d=2\text{,}$ то $c=d\pm 2\text{.}$ Пусть $c=4\text{.}$
2. Если $c=4\text{,}$ то $b=c\pm 2\text{.}$ Пусть $b=2\text{.}$
3. Если $b=2\text{,}$ то $a=b\pm 2\text{.}$ Тогда $a=4$ (так как первая цифра $a$ не может быть нулём).

Получили число $42420\text{.}$ Проверим его на соответствие всем условиям:

1. Признак делимости на $4\text{:}$ число оканчивается на $20\text{,}$ $20:4=5$ — верно.
2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр должна делиться на $3\text{.}$

Так как $12$ делится на $3\text{,}$ то и число $42420$ делится на $3\text{.}$ Поскольку число делится и на $3\text{,}$ и на $4\text{,}$ оно кратно $12\text{.}$

3. Разность соседних цифр:

Условие выполняется.

Примерами других таких чисел являются $42024\text{,}$ $46464\text{,}$ $86868\text{.}$

Ответ: 42420