Задача №13978

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $93\text{,}$ во втором — $107\text{,}$ в третьем — $123\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $19\text{,}$ но меньше $22\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

1. Найдем общую сумму всех чисел в таблице. Поскольку сумма чисел в первом столбце равна $93\text{,}$ во втором — $107\text{,}$ а в третьем — $123\text{,}$ то общая сумма всех чисел во всех клетках таблицы равна:

2. Пусть $n$ — количество строк в таблице. Обозначим сумму чисел в $i$-й строке как $S_i\text{.}$ По условию в каждой клетке таблицы стоят натуральные числа, значит, сумма чисел в каждой строке также является натуральным числом. По условию:

Следовательно, сумма чисел в любой строке может принимать только два значения: $20$ или $21\text{.}$

3. Пусть $k$ — количество строк, сумма чисел в которых равна $21\text{.}$ Тогда количество строк, сумма чисел в которых равна $20\text{,}$ будет равно $n-k\text{.}$ Составим уравнение для общей суммы всех чисел:

4. Поскольку $k$ — это количество строк с суммой $21\text{,}$ должно выполняться неравенство $0⩽k⩽n\text{.}$ Выразим $k$ через $n\text{:}$

Подставим это выражение в границы для $k\text{:}$

а) $323-20n⩾0\Rightarrow 20n⩽323\Rightarrow n⩽16,15\text{.}$
б) $323-20n⩽n\Rightarrow 323⩽21n\Rightarrow n⩾\frac{323}{21}\approx 15,38\text{.}$

5. Единственное целое число $n\text{,}$ удовлетворяющее условию $15,38⩽n⩽16,15\text{,}$ — это $16\text{.}$

Проверка:
Если $n=16\text{,}$ то $k=323-20\cdot 16=323-320=3\text{.}$
Значит, в таблице $3$ строки с суммой $21$ и $13$ строк с суммой $20\text{.}$ Всего $3+13=16$ строк.

Ответ: 16.