Задача №13974

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $500\text{,}$ которое при делении и на $8\text{,}$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}=100a+10b+c\text{.}$

1. По условию первая цифра в записи является средним арифметическим двух других цифр:

2. Число больше $500\text{,}$ следовательно, первая цифра $a⩾5\text{.}$

3. Число при делении на $8$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Так как делитель равен $5\text{,}$ остаток $r$ может принимать значения $1;2;3;4\text{.}$ Если число $N$ при делении на $5$ и $8$ даёт одинаковый остаток $r\text{,}$ то число $N-r$ делится нацело на $\text{НОК}(5;8)=40\text{.}$ Таким образом, искомое число можно представить в виде:

4. Рассмотрим числа, кратные $40$ и большие $500\text{:}$

• При $k=13\text{:}$ $40\cdot 13=520\text{.}$ Числа: $521,522,523,524\text{.}$ Проверим условие $2a=b+c\text{.}$ Для всех этих чисел $a=5\text{,}$ значит, $b+c$ должно быть равно $10\text{.}$ Для $521\text{:}$ $2+1=3\ne 10\text{.}$ Для $524\text{:}$ $2+4=6\ne 10\text{.}$ Подходящих нет.

• При $k=14\text{:}$ $40\cdot 14=560\text{.}$ Числа: $561,562,563,564\text{.}$ Здесь $a=5\text{,}$ значит, $b+c=10\text{.}$ Проверим $564\text{:}$ $a=5,b=6,c=4\text{.}$ Сумма $b+c=6+4=10\text{,}$ что равно $2a\text{.}$ Остаток от деления $564$ на $5$ равен $4\text{.}$ Остаток от деления $564$ на $8\text{:}$ $564=8\cdot 70+4\text{,}$ тоже $4\text{.}$ Остатки равны и отличны от нуля.

Таким образом, число $564$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 564