Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500 , которое при делении и на 8 , и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид abc = 100a + 10b + c . 1. По условию первая цифра в записи является средним арифметическим двух других цифр: a = (b + c)/(2) => 2a = b + c 2. Число больше 500 , следовательно, первая цифра a 5 . 3. Число при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен r . Так как делитель равен 5 , остаток r может принимать значения 1; 2; 3; 4 . Если число N при делении на 5 и 8 даёт одинаковый остаток r , то число N - r делится нацело на НОК(5; 8) = 40 . Таким образом, искомое число можно представить в виде: N = 40k + r, где r in 1; 2; 3; 4 4. Рассмотрим числа, кратные 40 и большие 500 : - При k = 13 : 40 * 13 = 520 . Числа: 521, 522, 523, 524 . Проверим условие 2a = b + c . Для всех этих чисел a = 5 , значит, b + c должно быть равно 10 . Для 521 : 2 + 1 = 3 != 10 . Для 524 : 2 + 4 = 6 != 10 . Подходящих нет. - При k = 14 : 40 * 14 = 560 . Числа: 561, 562, 563, 564 . Здесь a = 5 , значит, b + c = 10 . Проверим 564 : a = 5, b = 6, c = 4 . Сумма b + c = 6 + 4 = 10 , что равно 2a . Остаток от деления 564 на 5 равен 4 . Остаток от деления 564 на 8 : 564 = 8 * 70 + 4 , тоже 4 . Остатки равны и отличны от нуля. Таким образом, число 564 удовлетворяет всем условиям задачи. Ответ: 564

564