Задача №13966

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Пусть искомое число равно $N=\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. По условию последняя цифра является средним арифметическим первых двух:

Отсюда следует, что сумма $a+b$ должна быть чётным числом.

2. Число $N$ при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Так как остаток меньше делителя, то для делителя 4 возможные значения $r\in \{1;2;3\}\text{.}$

3. Если число $N$ даёт одинаковый остаток $r$ при делении на 4 и на 15, то оно даёт тот же остаток при делении на наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Таким образом, число $N$ можно представить в виде:

где $k$ — натуральное число, а $r\in \{1;2;3\}\text{.}$

4. Будем перебирать значения $k$ для разных $r\text{,}$ чтобы найти трёхзначное число, удовлетворяющее условию цифр.

Рассмотрим $r=3\text{:}$

1) При $k=2\text{:}$ $N=60\cdot 2+3=123\text{.}$ Цифры: 1, 2, 3. Среднее арифметическое первых двух: $\frac{1+2}{2}=1,5\ne 3\text{.}$

2) При $k=3\text{:}$ $N=60\cdot 3+3=183\text{.}$ Цифры: 1, 8, 3. Среднее арифметическое первых двух: $\frac{1+8}{2}=4,5\ne 3\text{.}$

3) При $k=4\text{:}$ $N=60\cdot 4+3=243\text{.}$ Цифры: 2, 4, 3. Среднее арифметическое первых двух: $\frac{2+4}{2}=3\text{.}$ Условие выполняется.

5. Проверка для числа 243:

• $243=4\cdot 60+3$ (остаток 3);
• $243=15\cdot 16+3$ (остаток 3);
• остатки равны и не равны нулю;
• последняя цифра 3 является средним арифметическим цифр 2 и 4.

Ответ: 243