Задача №13961

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $55\text{,}$ все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число кратно $55\text{,}$ если оно одновременно делится на $5$ и на $11\text{.}$

1. Признак делимости на $5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или $5\text{.}$ По условию все цифры числа должны быть чётными, поэтому последняя цифра числа — $0\text{.}$

2. Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abc0}\text{,}$ где $a,b,c$ — различные чётные цифры из множества $\{2;4;6;8\}$ (цифра $a$ не может быть нулём).

3. Признак делимости на $11\text{:}$ знакочередующаяся сумма цифр числа должна делиться на $11\text{.}$ Для числа $\overline{abc0}$ это означает, что величина $a-b+c-0=a+c-b$ должна быть кратна $11\text{.}$

4. Поскольку $a,b,c$ — чётные цифры, выражение $a+c-b$ также примет чётное значение. Единственное чётное число, делящееся на $11$ в возможном диапазоне значений, — это $0\text{.}$

Следовательно, $a+c-b=0\text{,}$ или $a+c=b\text{.}$

5. Подберём подходящие тройки цифр из множества $\{2;4;6;8\}\text{:}$

• если $a=2;c=4\text{,}$ то $b=6\text{,}$ число — $2640\text{;}$
• если $a=4;c=2\text{,}$ то $b=6\text{,}$ число — $4620\text{;}$
• если $a=2;c=6\text{,}$ то $b=8\text{,}$ число — $2860\text{;}$
• если $a=6;c=2\text{,}$ то $b=8\text{,}$ число — $6820\text{.}$

Все эти числа удовлетворяют условию (все цифры чётны, различны, число делится на $55$). В ответе достаточно указать любое одно из них.

Ответ: $2640$