Задача №13959

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее двумя свойствами:
1. Сумма цифр числа $A$ делится на 7.
2. Сумма цифр числа $A+4$ делится на 7.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $A\text{.}$

Пусть $A=\overline{abc}$ — искомое трёхзначное число, а $S(A)$ — сумма его цифр. По условию задачи $S(A)$ и $S(A+4)$ должны делиться на 7.

Заметим, что если при прибавлении числа 4 к $A$ не происходит переходов через разряд (то есть последняя цифра $c⩽5$), то $S(A+4)=S(A)+4\text{.}$ В этом случае числа $S(A)$ и $S(A+4)$ не могут одновременно делиться на 7, так как их разность равна 4.

Если происходит один переход через разряд (в разряд десятков), то сумма цифр уменьшается на 9 и увеличивается на 4: $S(A+4)=S(A)-9+4=S(A)-5\text{.}$ Разность равна 5, что не делится на 7.

Для того чтобы разность была кратна 7, необходим двойной переход через разряд (из единиц в десятки и из десятков в сотни). Это возможно, если цифра десятков $b=9\text{,}$ а цифра единиц $c\in \{6;7;8;9\}\text{.}$

Рассмотрим случай $c=9\text{.}$ Тогда число имеет вид $A=\overline{a99}\text{.}$ Прибавим 4:

$$A=\overline{a99}\Rightarrow A+4=\overline{(a+1)03}$$

Найдём суммы цифр:

$$S(A)=a+9+9=a+18$$ $$S(A+4)=(a+1)+0+3=a+4$$

Разность сумм цифр равна $(a+18)-(a+4)=14\text{.}$ Так как 14 делится на 7, нам достаточно подобрать цифру $a$ так, чтобы одна из сумм делилась на 7. Пусть $S(A+4)=a+4=7\text{,}$ тогда $a=3\text{.}$

Проверим число $A=399\text{:}$
1. Сумма цифр $S(399)=3+9+9=21\text{.}$ Число 21 делится на 7.
2. $A+4=399+4=403\text{.}$ Сумма цифр $S(403)=4+0+3=7\text{.}$ Число 7 делится на 7.

Оба условия выполнены. Аналогичным образом можно найти и другие числа, например 498, 597 или 696.

Ответ: 399.