Найдите трёхзначное число A , обладающее двумя свойствами: 1. Сумма цифр числа A делится на 7. 2. Сумма цифр числа A + 4 делится на 7. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число A .

Пусть A = abc — искомое трёхзначное число, а S(A) — сумма его цифр. По условию задачи S(A) и S(A + 4) должны делиться на 7. Заметим, что если при прибавлении числа 4 к A не происходит переходов через разряд (то есть последняя цифра c 5 ), то S(A + 4) = S(A) + 4 . В этом случае числа S(A) и S(A + 4) не могут одновременно делиться на 7, так как их разность равна 4. Если происходит один переход через разряд (в разряд десятков), то сумма цифр уменьшается на 9 и увеличивается на 4: S(A + 4) = S(A) - 9 + 4 = S(A) - 5 . Разность равна 5, что не делится на 7. Для того чтобы разность была кратна 7, необходим двойной переход через разряд (из единиц в десятки и из десятков в сотни). Это возможно, если цифра десятков b = 9 , а цифра единиц c in 6; 7; 8; 9 . Рассмотрим случай c = 9 . Тогда число имеет вид A = a99 . Прибавим 4: A = a99 => A + 4 = (a + 1)03 Найдём суммы цифр: S(A) = a + 9 + 9 = a + 18 S(A + 4) = (a + 1) + 0 + 3 = a + 4 Разность сумм цифр равна (a + 18) - (a + 4) = 14 . Так как 14 делится на 7, нам достаточно подобрать цифру a так, чтобы одна из сумм делилась на 7. Пусть S(A + 4) = a + 4 = 7 , тогда a = 3 . Проверим число A = 399 : 1. Сумма цифр S(399) = 3 + 9 + 9 = 21 . Число 21 делится на 7. 2. A + 4 = 399 + 4 = 403 . Сумма цифр S(403) = 4 + 0 + 3 = 7 . Число 7 делится на 7. Оба условия выполнены. Аналогичным образом можно найти и другие числа, например 498, 597 или 696. Ответ: 399.

399