Задача №13957

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $2$ и $0$ и делится на $30\text{.}$ В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $30\text{,}$ поэтому оно должно делиться на $2\text{,}$ $3$ и $5\text{.}$

Делимость на $5\text{:}$ последняя цифра должна быть $0\text{.}$

Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр должна делиться на $3\text{.}$

Пусть $k$ — количество цифр $2$ в числе. Так как число состоит только из цифр $2$ и $0\text{,}$ сумма цифр равна $2k\text{.}$ Условие делимости на $3\text{:}$ $2k$ делится на $3\text{,}$ откуда $k$ кратно $3\text{.}$

Число шестизначное, поэтому всего 6 цифр. Первая цифра не может быть $0\text{,}$ следовательно, первая цифра — $2\text{.}$

Поскольку $k$ кратно $3\text{,}$ и $k\le 6\text{,}$ рассмотрим $k=3\text{.}$ Тогда в числе три цифры $2$ и три цифры $0\text{,}$ причём последняя цифра $0\text{.}$ Пример такого числа: $222000\text{.}$

Проверим: число $222000$ оканчивается на $0\text{,}$ поэтому делится на $2$ и $5\text{.}$ Сумма его цифр: $2+2+2=6\text{,}$ что делится на $3\text{.}$

Таким образом, число $222000$ делится на $30\text{.}$

Ответ: $222000$