Найдите четырёхзначное число, кратное 33 , все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид abcd , где a, b, c, d — его цифры. Согласно условию: 1. Все цифры a, b, c, d различны. 2. Все цифры нечётны, то есть a, b, c, d in 1; 3; 5; 7; 9 . 3. Число кратно 33 , а значит, оно одновременно делится на 3 и на 11 . Рассмотрим признаки делимости: 1. Делимость на 3: сумма цифр a + b + c + d должна делиться на 3. 2. Делимость на 11: разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях должна быть кратна 11, то есть (a + c) - (b + d) кратно 11. Поскольку все цифры a, b, c, d нечётные, суммы a + c и b + d являются чётными числами. Следовательно, их разность также должна быть чётным числом. Среди чисел, кратных 11, только 0 является чётным в достижимом диапазоне сумм. Таким образом: (a + c) - (b + d) = 0 => a + c = b + d Тогда общая сумма цифр числа равна: a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 2(a + c) Чтобы это выражение делилось на 3, само значение суммы S = a + c должно быть кратно 3. Выпишем возможные суммы двух различных нечётных цифр из множества 1; 3; 5; 7; 9 : 1+3=4; 1+5=6; 1+7=8; 1+9=10; 3+5=8; 3+7=10; 3+9=12; 5+7=12; 5+9=14; 7+9=16 Из этого списка выберем суммы, кратные 3: 1. S = 6 . Соответствующая пара цифр — 1; 5 . Чтобы составить число из четырёх различных цифр, нам нужно две такие пары, но пара только одна. Случай не подходит. 2. S = 12 . Соответствующие пары цифр — 3; 9 и 5; 7 . Эти пары состоят из четырёх различных нечётных цифр, что удовлетворяет условию. Пусть a; c = 3; 9 и b; d = 5; 7 . Сконструируем число, подставив эти значения. Пусть a = 3 , b = 5 , c = 9 , d = 7 . Получаем число 3597. Проверим число 3597: - Все цифры нечётны (3, 5, 9, 7) и различны. - Сумма цифр: 3 + 5 + 9 + 7 = 24 (делится на 3). - Разность сумм цифр на позициях: (3 + 9) - (5 + 7) = 12 - 12 = 0 (делится на 11). - Число 3597 делится на 33 ( (3597)/(33) = 109 ). Аналогично можно составить другие числа: 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735. Ответ: 3597
3597