Задача №13955

Найдите четырёхзначное число, кратное $33\text{,}$ все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{,}$ где $a,b,c,d$ — его цифры. Согласно условию:

1. Все цифры $a,b,c,d$ различны.
2. Все цифры нечётны, то есть $a,b,c,d\in \{1;3;5;7;9\}\text{.}$
3. Число кратно $33\text{,}$ а значит, оно одновременно делится на $3$ и на $11\text{.}$

Рассмотрим признаки делимости:

1. Делимость на 3: сумма цифр $a+b+c+d$ должна делиться на 3.
2. Делимость на 11: разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях должна быть кратна 11, то есть $(a+c)-(b+d)$ кратно 11.

Поскольку все цифры $a,b,c,d$ нечётные, суммы $a+c$ и $b+d$ являются чётными числами. Следовательно, их разность также должна быть чётным числом. Среди чисел, кратных 11, только 0 является чётным в достижимом диапазоне сумм. Таким образом:

Тогда общая сумма цифр числа равна:

Чтобы это выражение делилось на 3, само значение суммы $S=a+c$ должно быть кратно 3.

Выпишем возможные суммы двух различных нечётных цифр из множества $\{1;3;5;7;9\}\text{:}$

Из этого списка выберем суммы, кратные 3:

1. $S=6\text{.}$ Соответствующая пара цифр — $\{1;5\}\text{.}$ Чтобы составить число из четырёх различных цифр, нам нужно две такие пары, но пара только одна. Случай не подходит.
2. $S=12\text{.}$ Соответствующие пары цифр — $\{3;9\}$ и $\{5;7\}\text{.}$ Эти пары состоят из четырёх различных нечётных цифр, что удовлетворяет условию.

Пусть $\{a;c\}=\{3;9\}$ и $\{b;d\}=\{5;7\}\text{.}$ Сконструируем число, подставив эти значения. Пусть $a=3\text{,}$ $b=5\text{,}$ $c=9\text{,}$ $d=7\text{.}$ Получаем число 3597.

Проверим число 3597:

• Все цифры нечётны (3, 5, 9, 7) и различны.
• Сумма цифр: $3+5+9+7=24$ (делится на 3).
• Разность сумм цифр на позициях: $(3+9)-(5+7)=12-12=0$ (делится на 11).
• Число 3597 делится на 33 ($\frac{3597}{33}=109$).

Аналогично можно составить другие числа: 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735.

Ответ: 3597