Задача №13954

Найдите четырёхзначное число, большее $4500\text{,}$ но меньшее $5000\text{,}$ которое делится на $36$ и сумма цифр которого равна $27\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Искомое число лежит в диапазоне от $4500$ до $5000\text{,}$ следовательно, оно четырёхзначное и начинается с цифры $4\text{.}$ Обозначим это число как $\overline{4xyz}\text{.}$

2. Сумма цифр числа равна $27\text{.}$ Учитывая, что первая цифра равна $4\text{,}$ сумма оставшихся трёх цифр должна быть:

3. Число делится на $36\text{.}$ Так как $36=4\cdot 9\text{,}$ число должно одновременно делиться на $4$ и на $9\text{.}$

• Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $9\text{.}$ В условии сказано, что сумма цифр равна $27\text{,}$ а так как $27$ делится на $9\text{,}$ это условие выполняется для любого такого числа.
• Признак делимости на $4\text{:}$ число, образованное двумя последними цифрами ($\overline{yz}$), должно делиться на $4\text{.}$

4. Проверим возможные варианты значения второй цифры $x\text{,}$ учитывая, что число больше $4500$ (значит, $x⩾5$):

• Если $x=5\text{,}$ то $y+z=23-5=18\text{.}$ Это возможно только при $y=9$ и $z=9\text{.}$ Последние две цифры — $99\text{,}$ число $4599$ не делится на $4\text{.}$
• Если $x=6\text{,}$ то $y+z=23-6=17\text{.}$ Возможные пары $(y;z)\text{:}$ $(8;9)$ или $(9;8)\text{.}$ Числа $4689$ и $4698$ не делятся на $4\text{.}$
• Если $x=7\text{,}$ то $y+z=23-7=16\text{.}$ Возможные пары $(y;z)\text{:}$ $(7;9)\text{,}$ $(8;8)\text{,}$ $(9;7)\text{.}$ Проверим число, образованное последними цифрами:
  • $79$ не делится на $4\text{;}$
  • $88$ делится на $4$ ($88:4=22$);
  • $97$ не делится на $4\text{.}$

Таким образом, число $4788$ удовлетворяет всем условиям.

5. Проверка:

• $4500<4788<5000\text{;}$
• $4+7+8+8=27\text{;}$
• $4788:36=133\text{.}$

Также подходят числа $4896$ и $4968\text{.}$

Ответ: $4788$