Задача №13953

Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть цифры искомого числа — $a,b,c,d,e\text{.}$ По условию число чётное, поэтому последняя цифра $e$ чётная. Заметим, что ни одна из цифр не может быть равна $0\text{,}$ иначе произведение цифр будет равно $0\text{,}$ в то время как сумма цифр натурального пятизначного числа всегда положительна. Следовательно, $e\in \{2;4;6;8\}\text{.}$

Нам необходимо найти такие цифры, чтобы их сумма была равна их произведению:

Чтобы произведение не возрастало слишком быстро, возьмём несколько цифр, равных $1\text{.}$ Пусть $a=1\text{,}$ $b=1\text{,}$ $c=1\text{.}$ Тогда уравнение примет вид:

Если последняя цифра $e=2\text{,}$ подставим её в уравнение:

Получаем набор цифр: $1;1;1;5;2\text{.}$ Проверим условия:

1. Число пятизначное (например, $11152$).
2. Число чётное (оканчивается на $2$).
3. Сумма цифр: $1+1+1+5+2=10\text{.}$
4. Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 1\cdot 5\cdot 2=10\text{.}$

Условия выполняются. Также подходят любые перестановки этих цифр, при которых последняя цифра остаётся чётной (например, $11512\text{,}$ $15112\text{,}$ $51112$) или другие наборы цифр (например, $11222$).

Ответ: $11152$