Задача №13951

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным $5295\text{.}$ Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2», «3», «4» или «5» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, $3,2$ округляется до $3\text{;}$ $4,5$ — до $5\text{;}$ а $2,8$ — до $3\text{.}$)

1. Разложим число $5295$ на простые множители. Число оканчивается на $5\text{,}$ значит, оно делится на $5\text{:}$

2. Сумма цифр числа $1059$ равна $1+0+5+9=15\text{.}$ Поскольку $15$ делится на $3\text{,}$ то и число $1059$ делится на $3\text{:}$

3. Число $353$ является простым (оно не делится на простые числа $2\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{,}$ $7\text{,}$ $11\text{,}$ $13\text{,}$ $17\text{,}$ а $19^2=361>353$). Таким образом, полное разложение числа:

4. По условию Петя выписал $5$ отметок (цифры $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4$ или $5$) и перемножил получившиеся из них числа. Значит, произведение всех множителей должно быть равно $5295\text{.}$ Один из множителей в произведении обязан делиться на простое число $353\text{.}$

5. Проверим возможные числа, делящиеся на $353\text{,}$ которые можно составить из цифр $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4\text{,}$ $5\text{:}$

• Само число $353$ состоит из допустимых цифр ($3\text{,}$ $5\text{,}$ $3$). Оно занимает $3$ позиции из $5\text{.}$
• Число $353\cdot 2=706$ содержит недопустимые цифры.
• Число $353\cdot 3=1059$ содержит недопустимые цифры.
  Значит, одним из чисел в произведении обязательно было число $353\text{.}$

6. На остальные две отметки (позиции) приходится произведение, равное $5295/353=15\text{.}$

• Число $15$ нельзя получить как одну отметку (максимальная — $5$).
• Число $15$ нельзя составить как двузначное число из допустимых цифр, так как оно содержит цифру $1\text{.}$
• Число $15$ можно получить как произведение двух отдельных отметок: $3\cdot 5\text{.}$ Обе цифры являются допустимыми отметками.

7. Таким образом, Петя получил следующий набор из пяти отметок: $3\text{,}$ $5\text{,}$ $3\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{.}$

8. Вычислим среднее арифметическое этих отметок:

9. По правилам округления, указанным в условии ($0,5$ и выше округляется в большую сторону), число $3,8$ округляется до $4\text{.}$

Ответ: 4.