Найдите четырёхзначное число, кратное 55 , все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Число кратно 55 , следовательно, оно одновременно кратно 5 и 11 . Согласно признаку делимости на 5 , последняя цифра числа должна быть 0 или 5 . По условию все цифры чётны, значит, последняя цифра искомого числа — 0 . Пусть искомое число имеет вид abc0 , где a, b, c, 0 — различные чётные цифры из множества 0; 2; 4; 6; 8 . Поскольку число четырёхзначное, первая цифра a != 0 . Согласно признаку делимости на 11 , знакочередующаяся сумма цифр числа должна делиться на 11 : (a + c) - (b + 0) = 11k, где k in Z Так как a , b , c — чётные цифры, значение выражения a + c - b также должно быть чётным числом. Единственное чётное число, кратное 11 , в возможном диапазоне сумм — это 0 . Таким образом, a + c - b = 0 , то есть a + c = b . Подберём подходящие различные чётные цифры из множества 2; 4; 6; 8 (цифра 0 уже занята): Пусть a = 2 и c = 4 , тогда b = 2 + 4 = 6 . Получаем число 2640 . Пусть a = 4 и c = 2 , тогда b = 4 + 2 = 6 . Получаем число 4620 . Пусть a = 2 и c = 6 , тогда b = 2 + 6 = 8 . Получаем число 2860 . Проверим число 2640 : все его цифры ( 2 , 6 , 4 , 0 ) различны и чётны. Число заканчивается на 0 , значит, оно кратно 5 . Разность (2 + 4) - (6 + 0) = 0 делится на 11 , значит, число кратно 11 . Поскольку число кратно и 5 , и 11 , оно кратно 55 . Ответ: 2640
2640