Задача №13950

Найдите четырёхзначное число, кратное $55\text{,}$ все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Число кратно $55\text{,}$ следовательно, оно одновременно кратно $5$ и $11\text{.}$

2. Согласно признаку делимости на $5\text{,}$ последняя цифра числа должна быть $0$ или $5\text{.}$ По условию все цифры чётны, значит, последняя цифра искомого числа — $0\text{.}$

3. Пусть искомое число имеет вид $\overline{abc0}\text{,}$ где $a,b,c,0$ — различные чётные цифры из множества $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$ Поскольку число четырёхзначное, первая цифра $a\ne 0\text{.}$

4. Согласно признаку делимости на $11\text{,}$ знакочередующаяся сумма цифр числа должна делиться на $11\text{:}$

5. Так как $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — чётные цифры, значение выражения $a+c-b$ также должно быть чётным числом. Единственное чётное число, кратное $11\text{,}$ в возможном диапазоне сумм — это $0\text{.}$ Таким образом, $a+c-b=0\text{,}$ то есть $a+c=b\text{.}$

6. Подберём подходящие различные чётные цифры из множества $\{2;4;6;8\}$ (цифра $0$ уже занята):

• Пусть $a=2$ и $c=4\text{,}$ тогда $b=2+4=6\text{.}$ Получаем число $2640\text{.}$
• Пусть $a=4$ и $c=2\text{,}$ тогда $b=4+2=6\text{.}$ Получаем число $4620\text{.}$
• Пусть $a=2$ и $c=6\text{,}$ тогда $b=2+6=8\text{.}$ Получаем число $2860\text{.}$

7. Проверим число $2640\text{:}$ все его цифры ($2\text{,}$ $6\text{,}$ $4\text{,}$ $0$) различны и чётны. Число заканчивается на $0\text{,}$ значит, оно кратно $5\text{.}$ Разность $(2+4)-(6+0)=0$ делится на $11\text{,}$ значит, число кратно $11\text{.}$ Поскольку число кратно и $5\text{,}$ и $11\text{,}$ оно кратно $55\text{.}$

Ответ: 2640