Задача №13948

Найдите пятизначное натуральное число, кратное $18\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Для того чтобы натуральное число делилось на $18\text{,}$ оно должно быть четным (делиться на $2$) и сумма его цифр должна делиться на $9\text{.}$

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $\overline{abcde}\text{.}$ По условию задачи любые две соседние цифры отличаются на $2\text{,}$ то есть:

Так как число кратно $18\text{,}$ последняя цифра $e$ должна быть четной: $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$

Рассмотрим случай, когда $e=2\text{:}$

1. Если $e=2\text{,}$ то $d$ может быть равно $0$ или $4\text{.}$
2. Пусть $d=4\text{.}$ Тогда $c$ может быть равно $2$ или $6\text{.}$
3. Пусть $c=6\text{.}$ Тогда $b$ может быть равно $4$ или $8\text{.}$
4. Пусть $b=4\text{.}$ Тогда $a$ может быть равно $2$ или $6\text{.}$

Проверим число $24642\text{:}$

1. Число пятизначное и натуральное.
2. Последняя цифра $2\text{,}$ значит, число четное.
3. Сумма цифр: $2+4+6+4+2=18\text{.}$ Так как $18$ делится на $9\text{,}$ всё число делится на $9\text{.}$ Следовательно, число делится на $18\text{.}$
4. Соседние цифры: $|2-4|=2\text{,}$ $|4-6|=2\text{,}$ $|6-4|=2\text{,}$ $|4-2|=2\text{.}$ Условие разности соседних цифр выполняется.

Аналогично можно найти и другие подходящие числа, например $64242$ или $86868\text{.}$

Ответ: 24642