Задача №13946

Найдите пятизначное число, кратное $22\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Для того чтобы число было кратно $22\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $2$ и на $11\text{.}$

1. Делимость на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть оканчиваться на чётную цифру.

2. Разность соседних цифр: по условию любые две соседние цифры отличаются на $2\text{.}$ Это означает, что если одна цифра числа чётная, то и все остальные цифры этого числа также будут чётными (так как чётное число плюс или минус $2$ всегда даёт чётное число). Поскольку число чётное, все его цифры принадлежат множеству $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$

3. Делимость на $11\text{:}$ пятизначное число $\overline{abcde}$ делится на $11\text{,}$ если знакочередующаяся сумма его цифр $S=a-b+c-d+e$ делится на $11\text{.}$

4. Так как все цифры числа чётные, сумма $S$ также будет чётной. Единственное чётное число в разумном диапазоне значений для данной суммы, делящееся на $11\text{,}$ — это $0\text{.}$ Следовательно, ищем число, для которого:

5. Попробуем подобрать цифры, соблюдая условие разности $2\text{.}$ Пусть первая цифра $a=4\text{.}$ Тогда вторая цифра $b$ может быть равна $2$ или $6\text{.}$

• Если $b=2\text{,}$ то $c$ может быть $0$ или $4\text{.}$
• Пусть $c=0\text{,}$ тогда $d$ может быть только $2\text{.}$
• Если $d=2\text{,}$ то цифра $e$ может быть $0$ или $4\text{.}$

6. Проверим число $42020\text{:}$

• Оно пятизначное.
• Соседние цифры: $|4-2|=2\text{,}$ $|2-0|=2\text{,}$ $|0-2|=2\text{,}$ $|2-0|=2$ — условие выполнено.
• Делимость на $2\text{:}$ число оканчивается на $0\text{,}$ условие выполнено.
• Делимость на $11\text{:}$ $4-2+0-2+0=0\text{.}$ Поскольку $0$ делится на $11\text{,}$ число кратно $11\text{.}$
• Таким образом, число кратно $2\cdot 11=22\text{.}$

Проверка: $42020:22=1910\text{.}$

Ответ: $42020$