Задача №13942

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $4266\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное число равно $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a,b,c,d$ — цифры, причём $a\ne 0\text{.}$

1. По условию число кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. Второе число получено записью цифр в обратном порядке: $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как это число также четырёхзначное, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. Составим уравнение по условию задачи: исходное число минус второе равно $4266\text{.}$

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

4. Проанализируем полученное уравнение. Слагаемое $10(b-c)$ всегда оканчивается на $0\text{.}$ Значит, число $111a$ должно оканчиваться на ту же цифру, что и $1029\text{,}$ то есть на $9\text{.}$ Это возможно только при $a=9\text{.}$

Подставим $a=9$ в уравнение:

5. Подберём подходящие цифры $b$ и $c\text{.}$ Например, если $c=0\text{,}$ то $b=3\text{.}$ Тогда исходное число будет $9305\text{.}$

Проверка:
Число $9305$ кратно $5\text{.}$
Обратное число — $5039\text{.}$
Разность: $9305-5039=4266\text{.}$

Другие возможные варианты: $9415\text{,}$ $9525\text{,}$ $9635\text{,}$ $9745\text{,}$ $9855\text{,}$ $9965\text{.}$

Ответ: $9305$