Задача №13938

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $93\text{,}$ во втором — $107\text{,}$ в третьем — $123\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $19\text{,}$ но меньше $22\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

1. Найдем общую сумму всех чисел в таблице. Сумма всех чисел в таблице равна сумме чисел во всех её столбцах:

2. Пусть $n$ — количество строк в таблице. По условию в каждую клетку вписано натуральное число, а сумма чисел в каждой строке больше $19\text{,}$ но меньше $22\text{.}$ Так как сумма натуральных чисел — это целое число, то сумма в каждой строке может быть равна либо $20\text{,}$ либо $21\text{.}$

3. Обозначим сумму чисел в $i$-й строке как $S_i\text{.}$ Тогда общая сумма всех чисел равна:

Так как $20⩽S_i⩽21$ для каждой строки, мы можем составить неравенство для общей суммы:

4. Подставим известное значение $S=323$ в неравенство:

5. Решим полученную систему неравенств для целого $n\text{:}$

• Из неравенства $20n⩽323$ следует, что $n⩽\frac{323}{20}=16,15\text{.}$ Следовательно, наибольшее возможное целое значение $n=16\text{.}$
• Из неравенства $21n⩾323$ следует, что $n⩾\frac{323}{21}\approx 15,38\text{.}$ Следовательно, наименьшее возможное целое значение $n=16\text{.}$

6. Единственным целым числом, удовлетворяющим обоим условиям, является $n=16\text{.}$

Проверка: если в таблице $13$ строк с суммой $20$ и $3$ строки с суммой $21\text{,}$ то общая сумма будет $13\cdot 20+3\cdot 21=260+63=323\text{,}$ что соответствует условию.

Ответ: 16