Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое трёхзначное число имеет вид N=abc=100a+10b+c, где a, b, c — его цифры. По условию N>500, следовательно, a∈{5;6;7;8;9}.
1. Согласно условию, число N при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки r. Это означает, что число N−r делится нацело и на 6, и на 5. Следовательно, N−r делится на НОК(6;5)=30.
2. Так как остаток r при делении на 5 и на 6 должен быть ненулевым, то r∈{1;2;3;4} (остаток всегда меньше делителя).
3. Запишем число в виде N=30k+r. Поскольку 30k всегда оканчивается на 0, последняя цифра числа N совпадает с остатком r. Таким образом, c=r.
4. По условию средняя цифра является средним арифметическим крайних:
b=2a+c⇒a+c=2bТак как c=r, получаем уравнение a+r=2b.
5. Из записи N=100a+10b+r и того, что N−r делится на 30, следует, что 100a+10b делится на 30. Это равносильно тому, что 10a+b делится на 3.
Разложим: 10a+b=9a+(a+b). Поскольку 9a делится на 3, сумма a+b также должна делиться на 3.
6. Выразим a из уравнения a+r=2b: a=2b−r. Подставим в условие делимости:
a+b=(2b−r)+b=3b−rДля того чтобы 3b−r делилось на 3, остаток r сам должен делиться на 3. Среди возможных значений r∈{1;2;3;4} этому условию удовлетворяет только r=3.
7. При r=3 имеем c=3 и уравнение a+3=2b. Чтобы 2b было чётным, цифра a должна быть нечётной. Учитывая a⩾5, рассмотрим варианты:
Все три числа удовлетворяют условиям задачи. Выберем любое из них.
Ответ: 543
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Алгебра
ФИПИ