Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое трёхзначное число имеет вид N = abc = 100a + 10b + c , где a , b , c — его цифры. По условию N > 500 , следовательно, a in 5; 6; 7; 8; 9 . Согласно условию, число N при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки r . Это означает, что число N - r делится нацело и на 6, и на 5. Следовательно, N - r делится на НОК(6; 5) = 30 . Так как остаток r при делении на 5 и на 6 должен быть ненулевым, то r in 1; 2; 3; 4 (остаток всегда меньше делителя). Запишем число в виде N = 30k + r . Поскольку 30k всегда оканчивается на 0, последняя цифра числа N совпадает с остатком r . Таким образом, c = r . По условию средняя цифра является средним арифметическим крайних: b = (a + c)/(2) => a + c = 2b Так как c = r , получаем уравнение a + r = 2b . Из записи N = 100a + 10b + r и того, что N - r делится на 30, следует, что 100a + 10b делится на 30. Это равносильно тому, что 10a + b делится на 3. Разложим: 10a + b = 9a + (a + b) . Поскольку 9a делится на 3, сумма a + b также должна делиться на 3. Выразим a из уравнения a + r = 2b : a = 2b - r . Подставим в условие делимости: a + b = (2b - r) + b = 3b - r Для того чтобы 3b - r делилось на 3, остаток r сам должен делиться на 3. Среди возможных значений r in 1; 2; 3; 4 этому условию удовлетворяет только r = 3 . При r = 3 имеем c = 3 и уравнение a + 3 = 2b . Чтобы 2b было чётным, цифра a должна быть нечётной. Учитывая a 5 , рассмотрим варианты: Если a = 5 , то 5 + 3 = 8 = 2b => b = 4 . Получаем число 543. Если a = 7 , то 7 + 3 = 10 = 2b => b = 5 . Получаем число 753. Если a = 9 , то 9 + 3 = 12 = 2b => b = 6 . Получаем число 963. Все три числа удовлетворяют условиям задачи. Выберем любое из них. Ответ: 543
543