Задача №13936

На рисунке представлено выражение вида:

$$\square +\square \square +\square \square \square$$

Пусть это сумма одноразрядного числа $A\text{,}$ двухразрядного числа $\overline{BC}$ и трехразрядного числа $\overline{DEF}\text{,}$ где $A,B,C,D,E,F$ — цифры на карточках.

Запишем сумму в виде:

$$S=A+(10B+C)+(100D+10E+F)=100D+10(B+E)+(A+C+F).$$

Для того чтобы сумма $S$ делилась на 10, её последняя цифра должна быть равна 0. Это возможно тогда и только тогда, когда сумма единиц $A+C+F$ делится на 10. Так как все цифры выбираются из набора $\{3,6,7,7,8,9\}\text{,}$ оценим возможную сумму трех различных карточек:

• Минимальная сумма трех карточек: $3+6+7=16\text{.}$
• Максимальная сумма трех карточек: $7+8+9=24\text{.}$

Единственное число в этом диапазоне, делящееся на 10, — это 20. Таким образом, сумма единиц $A+C+F$ должна быть равна 20.

Найдем тройки чисел из нашего набора, дающие в сумме 20:

1. Тройка $\{3,8,9\}$ (так как $3+8+9=20$). Тогда оставшиеся карточки для сотен и десятков — это $\{6,7,7\}\text{.}$
2. Тройка $\{6,7,7\}$ (так как $6+7+7=20$). Тогда оставшиеся карточки для сотен и десятков — это $\{3,8,9\}\text{.}$

Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти суммы, которые делятся на 10, но не делятся на 20 (то есть их предпоследняя цифра должна быть нечетной).

Случай 1. Единицы: $\{A,C,F\}=\{3,8,9\}\text{.}$ Оставшиеся карточки: $\{B,D,E\}=\{6,7,7\}\text{.}$

Цифра сотен $D$ может быть равна либо 6, либо 7:

• Если $D=6\text{,}$ то на десятки остаются карточки $\{7,7\}$ (то есть $B=7\text{,}$ $E=7$). Сумма равна:

$$S=100\cdot 6+10\cdot (7+7)+20=600+140+20=760.$$

Число 760 делится на 20 (так как $760=20\cdot 38$), что не удовлетворяет условию.

• Если $D=7\text{,}$ то на десятки остаются карточки $\{6,7\}$ (то есть $B+E=13$). Сумма равна:

$$S=100\cdot 7+10\cdot (6+7)+20=700+130+20=850.$$

Число 850 делится на 10, но не делится на 20 (так как $850=20\cdot 42,5$). Это подходящий результат. Пример выражения: $3+68+779=850\text{.}$

Случай 2. Единицы: $\{A,C,F\}=\{6,7,7\}\text{.}$ Оставшиеся карточки: $\{B,D,E\}=\{3,8,9\}\text{.}$

Цифра сотен $D$ может принимать значения 3, 8 или 9:

• Если $D=3\text{,}$ то на десятки остаются карточки $\{8,9\}$ (то есть $B+E=17$). Сумма равна:

$$S=100\cdot 3+10\cdot (8+9)+20=300+170+20=490.$$

Число 490 делится на 10, но не делится на 20. Это подходящий результат. Пример выражения: $6+87+397=490\text{.}$

• Если $D=8\text{,}$ то на десятки остаются карточки $\{3,9\}$ (то есть $B+E=12$). Сумма равна:

$$S=100\cdot 8+10\cdot (3+9)+20=800+120+20=940.$$

Число 940 делится на 20, что не удовлетворяет условию.

• Если $D=9\text{,}$ то на десятки остаются карточки $\{3,8\}$ (то есть $B+E=11$). Сумма равна:

$$S=100\cdot 9+10\cdot (3+8)+20=900+110+20=1030.$$

Число 1030 делится на 10, но не делится на 20. Это подходящий результат. Пример выражения: $6+37+987=1030\text{.}$

Таким образом, в качестве ответа можно указать любое из чисел: 490, 850, 1030.