Задача №13931

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 4;
• сумма цифр числа $A+2$ делится на 4;
• число $A$ больше 200 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число $A\text{.}$

Пусть трёхзначное число $A$ состоит из цифр $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ где $a$ — сотни, $b$ — десятки, $c$ — единицы. Тогда $A=100a+10b+c\text{.}$ По условию $200<A<400\text{,}$ поэтому $a=2$ или $a=3\text{.}$

Обозначим сумму цифр числа $A$ как $s_1=a+b+c\text{.}$ По первому свойству $s_1$ делится на 4.

Рассмотрим число $A+2$ и его сумму цифр $s_2\text{.}$ При добавлении 2 к числу $A$ возможны изменения цифр в зависимости от значения $c$ и наличия переносов в старшие разряды.

1. Случай 1: $c⩽7\text{.}$
В этом случае прибавлении 2 к числу $A$ не происходит переноса в разряд десятков. Тогда цифры числа $A+2$ будут: $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c+2\text{.}$
Сумма цифр $s_2=a+b+c+2=s_1+2\text{.}$
Если $s_1$ делится на 4, то $s_1+2$ при делении на 4 даёт остаток 2. Значит, $s_2$ не делится на 4. В этом случае подходящих чисел нет.

2. Случай 2: $c=8\text{.}$
В этом случае при добавлении 2 к числу $A$ происходит перенос в разряд десятков.

• Подслучай 2а: $b⩽8\text{.}$ Тогда цифры числа $A+2$ будут: $a\text{,}$ $b+1\text{,}$ $0\text{.}$
  Сумма цифр $s_2=a+b+1\text{.}$ Сумма цифр $s_1=a+b+8\text{.}$ Заметим, что разность $s_1-s_2=7\text{.}$ Два числа, разность которых равна 7, не могут одновременно делиться на 4. Решений нет.

• Подслучай 2б: $b=9\text{.}$ Тогда число $A=\overline{a98}\text{.}$ Сумма цифр $s_1=a+9+8=a+17\text{.}$ Число $A+2=\overline{(a+1)00}\text{,}$ сумма его цифр $s_2=a+1\text{.}$
  При $a=2\text{:}$ $s_1=19$ (не делится на 4).
  При $a=3\text{:}$ $s_1=3+17=20$ (делится на 4) и $s_2=3+1=4$ (делится на 4).
  Число $A=398$ подходит.

3. Случай 3: $c=9\text{.}$
В этом случае при добавлении 2 к числу $A$ происходит перенос в разряд десятков.

• Подслучай 3а: $b⩽8\text{.}$ Тогда цифры числа $A+2$ будут: $a\text{,}$ $b+1\text{,}$ $1\text{.}$
  Сумма цифр $s_2=a+b+1+1=a+b+2\text{.}$ Сумма цифр $s_1=a+b+9\text{.}$ Разность $s_1-s_2=7\text{.}$ Решений нет.

• Подслучай 3б: $b=9\text{.}$ Тогда число $A=\overline{a99}\text{.}$ Сумма цифр $s_1=a+18\text{.}$ Число $A+2=\overline{(a+1)01}\text{,}$ сумма цифр $s_2=a+1+1=a+2\text{.}$
  При $a=2\text{:}$ $s_1=2+18=20$ (делится на 4) и $s_2=2+2=4$ (делится на 4).
  Число $A=299$ подходит.
  При $a=3\text{:}$ $s_1=21$ (не делится на 4).

Таким образом, найдены числа 299 и 398, удовлетворяющие всем условиям.

Ответ: 299